Wyznacz parametr...

[wasu]

Wyznacz parametry a,b,c tak aby wielomiany \(\displaystyle{ P(x) i Q(x)}\) były równe:
\(\displaystyle{ P(x)=ax^3-4x^2+5x-2}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=(x-b)^2(x-c)}\)

Obliczam Q(x) daje przed nawias co trzeba i wychodzi mi ze:
\(\displaystyle{ 2b-c=4}\)
\(\displaystyle{ b^2+2bc=5}\)
\(\displaystyle{ b^2c=2}\)
Mozliwe ze cos pomylilem w obliczeniach i dlatego mi nie wychodzi...

[Sylwek]

\(\displaystyle{ Q(x)=(x^2-2bx+b^2)(x-c)=x^3-2bx^2+b^2x-cx^2+2bcx-cb^2= \\ =x^3-(2b+c)x^2+(b^2+2bc)x-b^2c}\)

Teraz - wielomiany są sobie równe, kiedy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a=1 \\ -(2b+c)=-4 \\ b^2+2bc=5 \\ -b^2c=-2\end{cases} \\ \begin{cases}2b+c=4 \\ b^2+2bc=5 \\ b^2c=2 \end{cases}}\)

Teraz próbujemy dwie różne kombinacje powyższych układów:
\(\displaystyle{ 1) \ b^3+2b^2c=5b \\ b^3+4=5b \\ b^3-5b+4=0 \\ (b-1)(b^2+b-4)=0 \\ \\ 2) \ c=2(2-b) \\ b^2 \cdot 2(2-b)=2 \\ -b^3+2b^2=1 \\ b^3-2b^2+1=0 \\ (b-1)(b^2-b-1)=0}\)

Wspólnymi rozwiązaniami tych dwóch równań jest tylko b=1. Sprawdźmy:

\(\displaystyle{ 2b+c=4 \ -> \ c=2 \\ b^2+2bc=5 \ -> c=2 \\ b^2c=2 \ -> \ c=2}\)

Odp: a=1, b=1, c=2