Ogólny wyraz ciągu

[mkd]

Czy ciąg \(\displaystyle{ 1,-2, 3,-4, 5,-6, ...}\) da się opisać nierekurencyjnie? Jeśli tak to jak?

[max]

\(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n + 1}n}\)

[mkd]

Dzieki bardzo. Mam jeszcze pytanie: czy każdy ciąg opisany rekurencyjnie da sie opisać nierekurencyjnie?

[max]

Mam jeszcze pytanie: czy każdy ciąg opisany rekurencyjnie da sie opisać nierekurencyjnie?

Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne... w każdym razie znalezienie takiego wzoru jawnego dla ciągu określonego rekurencyjnie daleko nie zawsze jest tak łatwe jak w tym przypadku.

[Piotr Rutkowski]

Tak jak max powiedział. Niektóre są bardzo skomplikowane, inne mniej, niektóre w ogóle nierozwiązywalne. Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową, a otym więcej przeczytasz na:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=25578

[mkd]

Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...

Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).

niektóre w ogóle nierozwiązywalne

Czyli nie mają rozwiązania czy nie potrafimy go znaleść?

Przepraszam, za takie banalne pytania ale matematyką interesuje się od niedawna, mam duuże braki i w ogóle zastanawiam się jak mi się udawało zdawać z klasy do klasy. Dopiero ostatnio mnie jakoś naszło na liczenie. Pozdrawiam, m.

[Piotr Rutkowski]

Mówię nierozwiązywalne ciągi rekurencyjne, czyli takie, że nie da się znaleźć wyrazu ogólnego, ale z takimi się raczej nie spotkasz. Proponuję skupić się na rekurencjach liniowych

[mkd]

Co to znaczy, że rekurencja jest liniowa?

[Piotr Rutkowski]

Przeczytaj wszystko w linku do kompendium, który Ci podałem.

[mkd]

O rany.. No rzeczywiście! Dziękuję!

[max]

Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...

Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).

No jeszcze wypadałoby określić czym (jakimi działaniami, funkcjami) możemy się posługiwać, aby wyrazić ten wzór ogólny.

Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową

To ja chętnie zobaczyłbym ogólną metodę rozwiązywania rekurencji liniowej postaci:
\(\displaystyle{ a_{n + k + 1} = c_{k}a_{n + k} + c_{k - 1}a_{n+ k - 1} + \ldots + c_{0}a_{n} + f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną, \(\displaystyle{ (c_{0}, \ldots , c_{k})}\) jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych a \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i wyrażającą się w postaci skończonej przez funkcje elementarne.
Albo chociaż dowód wspomnianej rozwiązywalności.

[Piotr Rutkowski]

Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...

Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).

No jeszcze wypadałoby określić czym (jakimi działaniami, funkcjami) możemy się posługiwać, aby wyrazić ten wzór ogólny.

Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową

To ja chętnie zobaczyłbym ogólną metodę rozwiązywania rekurencji liniowej postaci:
\(\displaystyle{ a_{n + k + 1} = c_{k}a_{n + k} + c_{k - 1}a_{n+ k - 1} + \ldots + c_{0}a_{n} + f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną, \(\displaystyle{ (c_{0}, \ldots , c_{k})}\) jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych a \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i wyrażającą się w postaci skończonej przez funkcje elementarne.
Albo chociaż dowód wspomnianej rozwiązywalności.

OK, masz tu rację, ale czy na pewno postać, którą podałeś to rekurencja liniowa?

[max]

Liniowe równanie rekurencyjne k-tego stopnia, niejednorodne.