zadanie
rozwiąż równainie
\(\displaystyle{ ln(e+\frac{1}{x})=\frac{1}{xe+1}}\)
równanie
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
równanie
Zbadajmy funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = \ln (e +\tfrac{1}{x}) - \frac{1}{xe + 1}\\
D_{f} = (-\infty, -\tfrac{1}{e})\cup (0, +\infty)\\
f'(x) = \frac{x}{xe + 1}\cdot \frac{-1}{x^{2}} + \frac{e}{(xe + 1)^{2}} = \frac{xe - (xe + 1)}{x(xe + 1)^{2}} = -\frac{1}{x(xe + 1)^{2}}}\)
Stąd \(\displaystyle{ f'(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x (-\infty, -\tfrac{1}{e})}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x) < 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in (0, +\infty)}\) i w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -\tfrac{1}{e})}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, a w przedziale \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\) malejąca.
Ponadto:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f(x) = \ln e - 0 = 1 > 0}\)
oraz analogicznie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}f(x) = 1}\)
Stąd, biorąc pod uwagę monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in D_{f}}\) jest \(\displaystyle{ f(x) > 1 > 0}\) i rozpatrywane równanie równoważne równaniu \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) nie ma rozwiązań.
\(\displaystyle{ f(x) = \ln (e +\tfrac{1}{x}) - \frac{1}{xe + 1}\\
D_{f} = (-\infty, -\tfrac{1}{e})\cup (0, +\infty)\\
f'(x) = \frac{x}{xe + 1}\cdot \frac{-1}{x^{2}} + \frac{e}{(xe + 1)^{2}} = \frac{xe - (xe + 1)}{x(xe + 1)^{2}} = -\frac{1}{x(xe + 1)^{2}}}\)
Stąd \(\displaystyle{ f'(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x (-\infty, -\tfrac{1}{e})}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x) < 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in (0, +\infty)}\) i w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -\tfrac{1}{e})}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, a w przedziale \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\) malejąca.
Ponadto:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f(x) = \ln e - 0 = 1 > 0}\)
oraz analogicznie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}f(x) = 1}\)
Stąd, biorąc pod uwagę monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in D_{f}}\) jest \(\displaystyle{ f(x) > 1 > 0}\) i rozpatrywane równanie równoważne równaniu \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) nie ma rozwiązań.