Obliczyć długość łuku krzywej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2(t-\sin t)\\y=2-2\cos t\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t \in}\)
Prosiłbym o pełne rozwiązanie aż do samego wyniku z komentarzami jak postępować. Będzie mi to bardzo pomocne w przygotowaniu się do egzaminu i pomoże mi później porównać wyniki.
Pozdrawiam i dziękuję.
Obliczyć długość łuku
-
yaper
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 13:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: małopolska
- Podziękował: 1 raz
Obliczyć długość łuku
Nie robiłem jeszcze zadań tego typu, dlatego prosiłbym o rozwiązanie tego krok po kroku wraz z komentarzami co należy czynić w danym momencie
-
bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Obliczyć długość łuku
\(\displaystyle{ t\in\langle-\pi;\pi\rangle}\), niech \(\displaystyle{ \alpha=-\pi}\) oraz \(\displaystyle{ \beta=\pi}\).
Szukana długość łuku wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right)^{2}}\,\mbox{d}t}\)
Od czego zacząć? Najpierw należy obliczyć pochodne \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}}\).
Po ich obliczeniu wstawiasz pod pierwiastek w całce i pozostaje zwykłe obliczenie całki oznaczonej.
Szukana długość łuku wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right)^{2}}\,\mbox{d}t}\)
Od czego zacząć? Najpierw należy obliczyć pochodne \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}}\).
Po ich obliczeniu wstawiasz pod pierwiastek w całce i pozostaje zwykłe obliczenie całki oznaczonej.