2 zadania z kombinacją liniową

[e-km]

1) Na prostej \(\displaystyle{ k}\) dane są takie punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\), że \(\displaystyle{ |BC|:|AC|=3:1}\). Wyznacz \(\displaystyle{ \vec{AC}}\)w zależności od wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\).

2) W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty \(\displaystyle{ P i Q}\) są środkami boków \(\displaystyle{ AB i AD}\). Wyznacz \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) jako kombinacje liniowe wektorów \(\displaystyle{ \vec{CP}=\vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{CQ}=\vec{q}}\).

dziękuję z góry za pomoc, wyjaśnijcie też co robicie, nie tylko sam wynik

no i witam ponownie na forum

[123terazty]

Cześć Emilka,

1) Trzeba rozpatrzyć dwa przypadki,

1* Punkt A leży poza BC. Wtedy wektor AB = 4 AC czyli AC = 1/4 AB

2* Punkt A leży pomiędzy BC wtedy AB = -2/3 BC czyli BC = -1,5 AB
a BC = 3 AC
podstawiając:

-1,5 AB=3 AC
AC=-1/2 AB

2)
Wiemy że q= CD + 1/2 DA i p= CB + 1/2 BA uwzględniając że CD = BA i CB = DA mamy:

q=BA + 1/2 DA
p=DA + 1/2 BA

Dla AD:
2p = 2 DA + BA
2p-q = 1,5 DA
DA = (2p-q)/1,5
AD=-(2p-q)/1,5

i analogicznie dla AB

2q= 2 BA + DA
2q-p = 1,5 BA
BA = (2q-p) /1,5
AB = -(2q-p)/1,5

Nie umiem pisać tych formuł, więc musisz sobie narysować na kartce rysunek i pamiętaj że BA to jest wektor o początku w punkcie B i końcu w punkcie A.

Pozdrawiam,
Bartek