Rozwinięcie funkcji trygonometrycznej w ot. zera

Kaktusiewicz · Post autor: **Kaktusiewicz** » 8 wrz 2007, o 15:04

Witam!
Od dłuższego czasu głowię się nad rozwinięciem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=cos(x^2)}\) w szereg potęgowy w otoczeniu 0.
Rozpisałem już całą stronę pochodnych tej funkcji i żadnej prawidłowości nie widzę. Scałkować też owej funkcji nie potrafię.
Proszę o pomoc.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 8 wrz 2007, o 15:09

\(\displaystyle{ cosx=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ cosx^2=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (x^2)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{4k}}{(2k)!}}\)

Kaktusiewicz · Post autor: **Kaktusiewicz** » 8 wrz 2007, o 16:41

I jest to obojętne, jaką funkcję przyjmiemy za x?

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 8 wrz 2007, o 17:29

Może sprecyzuj co masz na myśli.

Kaktusiewicz · Post autor: **Kaktusiewicz** » 8 wrz 2007, o 17:57

Chodziło mi o to, czy x w rozwinięciu funkcji kosinus może być funkcją, która po zróżniczkowaniu nie daje "prostej pochodnej", czyli złożonej wyłącznie ze stałych współczynników.

max · Post autor: **max** » 8 wrz 2007, o 19:09

O ile Cię dobrze zrozumiałem, to:
Jeśli argument funkcji \(\displaystyle{ f}\), której rozwinięcie znamy jest naturalną potęgą \(\displaystyle{ x}\), to wystarczy podstawić ten argument do znanego rozwinięcia. Natomiast jeśli ów argument jest jakąś inną funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\), to po podstawieniu bezpośrednio do rozwinięcia \(\displaystyle{ f}\) nie otrzymamy szeregu potęgowego...

Kaktusiewicz · Post autor: **Kaktusiewicz** » 8 wrz 2007, o 19:50

To wiele wyjaśniło, ale czy np. dla argumentu \(\displaystyle{ \sqrt x}\) (nie jest to naturalna potęga x) również możemy zastosować powyższy wzór.

max · Post autor: **max** » 8 wrz 2007, o 19:53

Faktycznie, źle się wyraziłem. O ile po podstawieniu otrzymasz szereg potęgowy zmiennej \(\displaystyle{ x}\), to nie widzę przeciwwskazań.