rozwiązac nierównosc
\(\displaystyle{ sin(lnx)+cos(lnx)>-1,5}\)
nierównosc
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
nierównosc
Podstaw najpierw \(\displaystyle{ \ln x=t}\), zamień np. cosinus na sinus ze wzorów redukcyjnych i zastosuj wzór na sumę sinusów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
nierównosc
założenie \(\displaystyle{ x>0}\), dalej:
\(\displaystyle{ \sin t+\cos t>-\frac{3}{2} \\
\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)+\cos t>-\frac{3}{2} \\
2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{3}{2} \\
\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{3}{2\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}}\)
Teraz posługujemy sie troche wykresem, i dalej mamy:
\(\displaystyle{ t-\frac{\pi}{4}\in\left(-\arccos\frac{-3\sqrt{2}}{4}+2k\pi;\arccos\frac{-3\sqrt{2}}{4}+2k\pi\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\), no i dalej już tylko \(\displaystyle{ x}\)wyznaczyć.
\(\displaystyle{ \sin t+\cos t>-\frac{3}{2} \\
\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)+\cos t>-\frac{3}{2} \\
2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{3}{2} \\
\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{3}{2\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}}\)
Teraz posługujemy sie troche wykresem, i dalej mamy:
\(\displaystyle{ t-\frac{\pi}{4}\in\left(-\arccos\frac{-3\sqrt{2}}{4}+2k\pi;\arccos\frac{-3\sqrt{2}}{4}+2k\pi\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\), no i dalej już tylko \(\displaystyle{ x}\)wyznaczyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
nierównosc
Badana nierówność zajdzie dla każdego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\), bo dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) jest przecież:
\(\displaystyle{ \cos (t - \tfrac{\pi}{4}) \geqslant -1 > -\tfrac{3\sqrt{2}}{4}}\)
Stąd \(\displaystyle{ x\in (0, +\infty)}\).
\(\displaystyle{ \cos (t - \tfrac{\pi}{4}) \geqslant -1 > -\tfrac{3\sqrt{2}}{4}}\)
Stąd \(\displaystyle{ x\in (0, +\infty)}\).