oblicz sumę pierwiastków

[mateusz200414]

cześć

mam z tym przykładem kłopot.

"oblicz sumę pieerwiastków wielomianu przy założeniiu, ze wielomian w rozkłada się na iloczyn czynników liniowych \(\displaystyle{ w(x)=2x^4+4x^3+px^2+qx+2}\)"

co to znaczy, że rozkłada się na iloczyn czynników liniowych? wywnioskowałem, że ma tylko rozwiązania wymierne, czy dobrze? jeśli tak, to zapisałem wszystkie mozliwe pierwiastki, obliczyłem wartość wielomianu dla nich, no ale jest ten parametr, dlatego nie wiem, które rzeczywiście są rozwiązaniami... może idzie to jakoś "pogrupować"?

proszę o pomoc

[setch]

rozkład na czynniki liniowe to \(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\ldots}\), gdzie a to współczynnik przy najwyższej potędze, \(\displaystyle{ x_n}\) to pierwiastki wielomianu. Ponadto, aby obliczyć sumę pierwiastków wielomianu należy skorzystać, ze wzrów Vietea.

[mateusz200414]

nie wiem jak zastosować w przypadku takiego równania wzory vieta...

dla rozjaśnienia, rozkład na czynniki liniowe oznacza, ze cały wielomian da sie rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego, tak?

proszę o dalsze wskazówki w kwestii tych wz. vieta

[max]

Wystarczy podstawić do wzoru, suma pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) to liczba przeciwna do współczynnika stojącego przy \(\displaystyle{ x^{n - 1}}\) podzielonego przez współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ x^{n}}\). W tym przypadku ten wzór możesz otrzymać wymnażając iloczyn:
\(\displaystyle{ 2(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})(x - x_{4})}\) i przyrównując współczynniki z danym wielomianem.

dla rozjaśnienia, rozkład na czynniki liniowe oznacza, ze cały wielomian da sie rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego, tak?

Tak.

[mateusz200414]

ok, wyszło poprawnie, dzięki.

tylko.. to zadanie strasznie czasochłonne, nie wyobrażam sobie co by sie działo w przypadku wielomianu stopnia 10..., czy można to zrobić krócej, nie znając podanego przez ciebie twierdzenia (czy tez nie jest to twierdzenie? )

[max]

Czasochłonne jest wymnażanie tego iloczynu, czyli metoda nie korzystająca z , z których od razu dostalibyśmy w tym przypadku:
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = -\frac{4}{2}}\)

[mateusz200414]

dokładnie tak, a jak skorzystać tutaj ze wzorów vieta? w szkole uczyli nas tylko tych podstawowych dla r. kwadrat., a z wikipedii nie rozumiem...

[max]

Na wikipedii jest to rozpisane dla przypadku ogólnego.

W przypadku wielomianów czwartego stopnia wzory Viete'a będą wyglądały tak:
Jeśli mamy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x) = a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}}\)
o pierwiastkach \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}\) (niekoniecznie różnych), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = -\frac{a_{3}}{a_{4}}\\
x_{1}x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1}x_{4} + x_{2}x_{3} + x_{2}x_{4} + x_{3}x_{4} = \frac{a_{2}}{a_{4}}\\
x_{1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{2}x_{4} + x_{1}x_{3}x_{4} + x_{2}x_{3}x_{4} = -\frac{a_{1}}{a_{4}}\\
x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = \frac{a_{0}}{a_{4}}\end{cases}}\)
(należy przy tym pamiętać, że nie każdy wielomian czwartego stopnia o współczynnikach rzeczywistych ma cztery pierwiastki rzeczywiste)
Aby te wzory wyprowadzić, należy właśnie wymnożyć postać iloczynową tego wielomianu i przyrównać współczynniki.

[mateusz200414]

teraz rozumiem, wielkie dzięki!