Funkcja odwrotna, bijekcja

[King James]

Witam, mam problem ze zrozumieniem definicji, z której według mnie wynika, że każda funkcja ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy jest różnowartościowa i warunek "na" jest spełniony czyli zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie. Mówiąc jeszcze inaczej, jeżeli mamy funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ X Y}\) i Y jest zbiorem wartości to jest odwracalna. Biorąc funkcję różnowartościową której zbiór wartości jest równy R otrzymujemy iniekcje i suriekcje? Jakie są różnice np. funkcji na \(\displaystyle{ f: sinx, R\rightarrow[-1,1]}\) a \(\displaystyle{ f: sinx, R\rightarrow R}\), poza tym, że jedna jest suriekcją a druga nie. Jak chcę otrzymać funkcję różnowartościową nieowdrcalną, przyjmuję za przeciwdziedzinę zbiór większy od jej zbioru wartości, są inne sposoby? Moje rozumowanie jest poprawne?

[max]

Każda funkcja przekształca dziedzinę (zbiór argumentów) na przeciwdziedzinę (zbiór wartości).
Każda funkcja różnowartościowa ma funkcję odwrotną, określoną na zbiorze wartości (przeciwdziedzinie) tej funkcji, której zbiorem wartości jest dziedzina tej funkcji.

Co do funkcji:
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to [-1,1]\\
f(x) = \sin x}\)
oraz:
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\
f(x) = \sin x}\)
to są one równe z definicji, różnice są tylko w zapisie.

[King James]

zbiór wartości to nie jest przeciwdziedzina, tylko jest podzbiorem przeciwdziedziny, można zobaczyć np. Wikipedia lub a jak rozumieć suriekcję? Według mnie wynika, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f: X Y}\) i Y(przeciwdziedzina) jest jej zbiorem wartości to jest funkcją "na" ?

[mol_ksiazkowy]

cóz surjekcje rozumiec nalezy w tym sensie,... \(\displaystyle{ f: X Y}\), że dla dowolego \(\displaystyle{ y Y}\) istnieje x t. ze f(x)=y. No a injekcja to gdy warunek f(a)=f(b) pociaga a=b. Bijekcja to gdy oba te warunki sa spelnione! (tj injekcja plus surjekcja). W tym przypadku oba zbiory X i Y mozna ze soba utozsamic, kazdy \(\displaystyle{ x X}\) ma swego jedynego odpowiednika \(\displaystyle{ y Y}\) i na odwrot....

[King James]

ok, a mój wniosek jest błędny? jeżeli nie, to są inne możliwe przykłady suriekji że Y-nie jest zbiorem wartości? jeżeli tak, to gdzie robię błąd?

[max]

zbiór wartości to nie jest przeciwdziedzina, tylko jest podzbiorem przeciwdziedziny, można zobaczyć np. Wikipedia lub

To już jest być może sprawa przyjętej konwencji, jednakże w dwóch podręcznikach do wstępu do matematyki z jakimi się zetknąłem (H. Rasiowa "Wstęp do matematyki współczesnej", W. Guzicki, P. Zakrzewski "Wykłady ze wstępu do matematyki") przeciwdziedzina jest utożsamiana ze zbiorem wartości funkcji, a są to źródła wiarygodniejsze niż wikipedia...
A i na wikipedii znajduje się odpowiedni odnośnik z wyjaśnieniem.

Wracając do tematu: mówienie o suriektywności jakiejś funkcji ma sens w odniesieniu do jakiegoś zbioru, tak np funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto \sin x}\) przekształca zbiór liczb rzeczywistych na przedział \(\displaystyle{ [-1, 1]}\), funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x^{2}}\) przekształca zbiór liczb rzeczywistych na zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto\tan x}\) przekształca przedział \(\displaystyle{ (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})}\) na zbiór liczb rzeczywistych itd..
Oczywiście nie istnieje taka funkcja ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) na zbiór \(\displaystyle{ Y}\), że \(\displaystyle{ Y}\) nie jest zbiorem wartości, jeśli przez zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) rozumiemy zbiór \(\displaystyle{ \{f(x) \ : \ x\in X\}}\), bo byłoby to sprzeczne z definicją suriekcji, którą podał wyżej Mol_książkowy.

[King James]

a np. funkcja podana wyżej,
\(\displaystyle{ f: R R}\)
\(\displaystyle{ f(x)=sinx}\)
ale chyba nie można powiedzieć że w tym przypadku Y=R jest zbiorem wartości funkji?
a, przyjmując że Y jest zbiorem wartości czyli przeciwdziedziną, to istnieje funkcja różnowartościowa która nie jest suriekcją, proszę o przykłady? Również przykłady suriekji? Jak sprawdzić czy funkcja jest suriekcją?

[max]

a, przyjmując że Y jest zbiorem wartości czyli przeciwdziedziną, to istnieje funkcja różnowartościowa która nie jest suriekcją, proszę o przykłady?

Jeśli założysz, że \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem wartości funkcji, to funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie suriekcją.

Iniektywność i suriektywność ani się nawzajem nie wykluczają, ani nie implikują. Kilka przykładów:

1. Jeśli weźmiemy funkcję \(\displaystyle{ \mbox{id}_{X}: X \to X}\) określoną wzorem \(\displaystyle{ \mbox{id}_{X}(x) = x}\), to będzie ona jednocześnie iniekcją jak i suriekcją.

2. Funkcja:
\(\displaystyle{ \mbox{sgn} : \mathbb{R} \to \mathbb{Z}\\
\mbox{sgn} (x) = \begin{cases}1, \ x > 0\\0, \ x = 0\\ - 1, \ x < 0\end{cases}}\)
nie jest ani suriekcją ani iniekcją.

3. Dla zbioru \(\displaystyle{ X}\) o co najmniej dwóch elementach funkcja \(\displaystyle{ \chi_{A} : X \to \{0, 1\}}\) określona wzorem:
\(\displaystyle{ \chi_{A}(x) = \begin{cases}1, \ x\in A\\
0, \ x\not\in A \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), różnym od zbioru \(\displaystyle{ X}\) oraz zbioru pustego jest funkcją na. Jak nietrudno zauważyć, może być ona różnowartościowa (gdy \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem dwuelementowym) albo i nie (gdy \(\displaystyle{ X}\) zawiera więcej niż dwa elementy)

4. Funkcja \(\displaystyle{ H : \mathbb{N}\to \mathbb{Q}}\)
\(\displaystyle{ H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}}\)
jest różnowartościowa, ale nie jest na.

Jak sprawdzić czy funkcja jest suriekcją?

Z definicji. Jeśli mamy sprawdzić czy jakaś funkcja \(\displaystyle{ f: X \to Y}\) jest przekształceniem na zbiór \(\displaystyle{ Y}\), to sprawdzamy, czy dla każdego \(\displaystyle{ y\in Y}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x\in X}\), że \(\displaystyle{ y = f(x)}\), co zresztą napisał powyżej Mol_książkowy.