Promien okregu wpisanego w trojkat

[matematyk_]

Witam

Mam problem z nastepujacym zadaniem:

Miara kata miedzy ramionami trojkata rownoramiennego o polu \(\displaystyle{ P}\) jest rowna \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz promien okregu wpisanego w ten trojkat.

Udalo mi sie rozwiazac tyle:

\(\displaystyle{ r=\frac{P}{a+2b}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+b^{2}-2b^{2}cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ a=b\sqrt{2(1-cos\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{P}{b\sqrt{2(1-cos\alpha)}+2b}}\)

Ale jak zobaczylem ze w odpowiedzi nie ma \(\displaystyle{ b}\) to sie poddalem.
Prosze was o pomoc, Moze wy wpadniecie jak to rozwiazac? Z gory thx

[florek177]

Narysuj promienie: do podstawy i do ramienia:
\(\displaystyle{ h = {r + x}}\).

Mamy: \(\displaystyle{ \frac{r}{x} = sin(\frac{\alpha}{2}) \}\) ; \(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{r+x} = tg(\frac{\alpha}{2}) \}\) ; \(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{b} = sin(\frac{\alpha}{2})}\) :

wyznacz a(r) i b(r) --> wstaw do wzoru na r --> otrzymasz r� --> wyznacz r . Jest trochę przekształceń. Na razie na nic prostszego nie wpadłem.