Oblicz (pierwiastki w mianownikach)

[Marioo]

Chciałem sprowadzać do wspólnego mianownika, ale to długa droga i chyba nie najlepsza ;]

a) \(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}-\sqrt{100}}}\)

[Calasilyar]

\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}=\frac{a-b}{a^{2}-b^{2}}\\
\frac{1}{a-b}=\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}}}\)

[Marioo]

W pierwszym to się sprawdziło, ale musi być jakaś droga na skróty odnośnie b) i c) ??:

[Calasilyar]

b)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}...=
\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}...=\\=
-(1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+...)=-(1-\sqrt{100})=-(1-10)=9}\)

[Marioo]

Wielkie dzięki