Kilka zadan

[Boran]

1)Obliczyc o ile istnieje
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{+ }}\)\(\displaystyle{ e^{-x}\cos x dx}\)
2)Obliczyc pole figury ograniczonej krzywymi
\(\displaystyle{ y=2x^{2}}\) \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x^{2}}\)
3)\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e} x^{2} ln x dx}\)
4)\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}}\)
5)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+9}}\)
6)Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi
\(\displaystyle{ y=x^{2}+1,x=0,x=2,y=x+1}\)
7)I jedna nieoznaczona:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{5+4\cos x}}\)

[mostostalek]

3. przez części:

\(\displaystyle{ dv=x^2dx\ \ \ \ v=\frac{x^3}{3}}\)
\(\displaystyle{ u=\ln{x}\ \ \ \ du=\frac{dx}{x}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e} x^{2} ln x dx=\frac{1}{3}x^3\ln{x} - \frac{1}{3}\int\limits_{1}^{e} x^2dx=\left( \frac{1}{3}x^3\ln{x} - \frac{1}{9}x^3 \right) \big| _{1}^{e}=\frac{1}{3}e^3-\frac{1}{9}e^3+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}e^3+\frac{1}{9}}\)

[luka52]

1. -> nieoznaczona 2x przez częsci, następnie odpowiednią granicę policz.
2. i 6. -> naszkicuj sobie ten obszar i zastanów się nad sposobem.
7. ->

[Calasilyar]

4)
proste podstawienie:
\(\displaystyle{ t=x-1}\)
i dalej banał

5)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{2}+9}=[\frac{1}{3}arctg\frac{x}{3}]^{\infty}_{0}=\frac{\pi}{6}}\)

[luka52]

1) nie istnieje

A dlaczego niby

-edit-
To samo odnośnie 5 przykładu ??:

[mostostalek]

4. t=x-1, dt=dx
\(\displaystyle{ x=1 \iff t=0}\)
\(\displaystyle{ x=2 \iff t=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{k\to1^+}\int\limits_{k}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\lim_{k\to0^+}\int\limits_{k}^{1}\frac{dt}{t^{2}}=\lim_{k\to0^+}-\frac{1}{t}\big|_{k}^{1}=\lim_{k\to0^+}-1+\frac{1}{k}=+\infty}\)

tutaj to szczerze mówiąc nie jestem pewny

[ Dodano: 7 Września 2007, 16:57 ]
luka

a istnieje \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}sinx}\)??

[Calasilyar]

A dlaczego niby

w 5 istnieje i wynosi \(\displaystyle{ ...=\frac{\pi}{6}}\)

[luka52]

Calasilyar, tak tylko wypadałoby poprawić poprzedni post.

mostostalek, a czy to jest potrzebne? - nie.
Gdyż mamy policzyć \(\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to +\infty} ft( \frac{e^{-x}}{2} (\sin x - \cos x) \right) \Big|_0^{\epsilon} = \frac{1}{2}}\)
??:

[Calasilyar]

Calasilyar, tak tylko wypadałoby poprawić poprzedni post.

spoko

[Boran]

Dzieki wszystkim