jak to zrobic:
udowodnic, ze dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych z, y nalezacych do R prawdziwa jest nierownoasc
\(\displaystyle{ |\ln (1+x^2) - \ln (1+y^2)| \leq |z-y|}\)
|ln(1+x^)-ln(1+y^)|<=|z-y|
pilne
Założyłem, że w wykładniku ma być 2.. A jeżeli się mylę to trudno - ogłoszenia należy czytać.
luka52
[ Dodano: 4 Września 2007, 22:50 ]
mala poprawka <=|x-y|
twierdzenie Lagrange'a
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
twierdzenie Lagrange'a
definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= ln(1+x^2)}\)
funkcja ta spełnia założenia tw lagrangea wiec istnieje c należące do R, że
\(\displaystyle{ \frac{ln(1+x^2)-ln(1+y^2)}{x-y}=f'(c)=\frac{2c}{1+c^2}}\)
Obkładamy sobie obustronnie modułem i mamy:
\(\displaystyle{ |ln(1+x^2)-ln(1+y^2)|=|\frac{2c}{1+c^2}(x-y)|}\)
zauwazmy ze funkcja \(\displaystyle{ f'(c)=\frac{2c}{1+c^2}}\) ma maksimum w pukcie c=1.
zatem
\(\displaystyle{ |ln(1+x^2)-ln(1+y^2)|=|\frac{2c}{1+c^2}(x-y)| \leqslant |x-y|}\)
funkcja ta spełnia założenia tw lagrangea wiec istnieje c należące do R, że
\(\displaystyle{ \frac{ln(1+x^2)-ln(1+y^2)}{x-y}=f'(c)=\frac{2c}{1+c^2}}\)
Obkładamy sobie obustronnie modułem i mamy:
\(\displaystyle{ |ln(1+x^2)-ln(1+y^2)|=|\frac{2c}{1+c^2}(x-y)|}\)
zauwazmy ze funkcja \(\displaystyle{ f'(c)=\frac{2c}{1+c^2}}\) ma maksimum w pukcie c=1.
zatem
\(\displaystyle{ |ln(1+x^2)-ln(1+y^2)|=|\frac{2c}{1+c^2}(x-y)| \leqslant |x-y|}\)