Zadanie z sumą ciągu

pascal · Post autor: **pascal** » 6 wrz 2007, o 22:01

Mam takie zadanie...

Suma \(\displaystyle{ S_{n}}\) początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) wyraża się wzorem \(\displaystyle{ s_{n} = n^{2}+2n+2}\). Oblicz \(\displaystyle{ a_{4}, a_{10}}\)
Jak to zrobić?

Jedyny mój pomysł, to odjąć sumę s10 od s9 oraz sumę s4 od s3. No bo nie jest to ciąg arytmetyczny, ani geometryczny...

Lider_M · Post autor: **Lider_M** » 6 wrz 2007, o 22:05

Zauważ, że zachodzi:
\(\displaystyle{ S_{n}+a_{n+1}=S_{n+1}}\)
Z tego wyznaczysz wzór na wyraz ogólny ciągu \(\displaystyle{ \{a_n\}}\), i dalej bez problemów

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 6 wrz 2007, o 22:08

No to masz akurat dobry pomysł
Ogólnie, wzór na n+pierwszy wyraz ciągu to:
\(\displaystyle{ S_{n+1}-S_{n}=(n+1)^{2}+2(n+1)+2-(n^{2}+2n+2)=2n+3}\)

pascal · Post autor: **pascal** » 6 wrz 2007, o 22:20

polskimisiek pisze:wzór na n+pierwszy wyraz ciągu

Czyli to wzór rekurencyjny?

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 6 wrz 2007, o 22:25

No nie, tu po prostu wyznaczam normalny wzór w zależności od n. Wszystkie obliczenia są w oparciu o właśnie twój pomysł.

pascal · Post autor: **pascal** » 6 wrz 2007, o 22:32

z tego wzoru wynika, że a10=23, a podczas odejmowania sum s10-s9 wychodzi 21 coś jest nie tak

.// może piszę głupoty, ale to miałem dość ciężki dzień (i nadal mam) więć prosiłbym o wyrozumiałość

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 6 wrz 2007, o 22:52

Odpowiedź to 21. Ja wyznaczyłem wzór na n+pierwszy wyraz ciągu, a więc aby obliczyć ze wzoru ogólnego \(\displaystyle{ a_{10}}\) to musisz podstawić za n dziewiątkę

pascal · Post autor: **pascal** » 6 wrz 2007, o 23:07

o rany.. no rzeczywiście! dziękuję!