Równania rózniczkowe

[Boran]

Mam problem z rozwiązywaniem tych równań. Z góry dziękuję za pomoc.

1)\(\displaystyle{ 2\sin x \frac{dy}{dx}+y\cos x=y^{3}(x\cos x-\sin x)}\)
2)\(\displaystyle{ (2xy^{2}-3y^{3})dx+(7-3xy^{2})dy=0}\)
3)\(\displaystyle{ y=\frac{2y'}{1-(y')^{2}}x}\)

[robert179]

1. Równanie różniczkowe Bernoulliego

2. Zupelne. Znajdź czynnik calkujący.

[luka52]

robert179, skoro należy znaleźć czynnik całkujący, to niezupełnie jest to równanie zupełne

Z trzecim jest dużo zabawy
O ile się nie mylę, to jest to r. różniczkowe Lagrange'a-d'Alemberta.
Równanie należy obustronnie zróżniczkować i podstawić \(\displaystyle{ p = y', \ \ p' = y''}\).
Po kilku przekształceniach dochodzimy do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{dp}{dx} = \frac{p (p^2 - 1)^2 + 2p (p^2 - 1) }{2x (1 + p^2)}\\
\frac{dx}{dp} = \frac{2x}{p (p^2 - 1)}}\)
Ostatnie równanie jest równaniem liniowym, w którym wystarczy rozdzielić zmienne i obustronnie scałkować:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x} = 2 \int \frac{dp}{p (p^2 - 1)}\\
\ln |x| = C - \ln \left| \frac{p^2}{p^2 - 1} \right| \\
\begin{cases}x = C_1 \left( 1 - \frac{1}{p^2}\right) \\ y = \frac{-2 C_1}{p} \end{cases}}\)
Można się troszkę jeszcze pobawić i zapisać to jako:
\(\displaystyle{ 4C^2 = 4 Cx + y^2}\)

[Boran]

Prosilbym o dokladniejsza pomoc do drugiego.
Oto co narazie zrobilem:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\)=\(\displaystyle{ \frac{-2xy^{2}+3y^{3}}{3xy^{2}+7}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2h+3k=0\\-3h+7=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} h=-\frac{3}{12}\\k=-\frac{9}{14}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy^{2}=\eta-\frac{3}{12}\\y^{3}=\xi-\frac{9}{14}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ u=\frac{\xi}{\eta}}\) \(\displaystyle{ f(u)=\frac{-2+3u}{-3u}}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{\frac{-2+3u}{-3u}-3}=\frac{d\xi}{\xi}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{-3}{3u+1}du=\int\frac{d\xi}{\xi}}\)
\(\displaystyle{ (3u+1)\xi=C_{2}}\) \(\displaystyle{ C_{2}={\frac{1}{c1}}\)

Co o tym sadzicie?
Juz sie boje odpowiedzi

[luka52]

Boran, można wiedzieć co to za sposób? Bo pierwszy raz coś takiego widzę.

Równanie drugie wystarczy obustronnie przemnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1}{y^2}}\) co sprowadzi to równanie do równania zupełnego. Dalej jest już tylko z górki.

[Boran]

luka52, wysle ci na maila fotke z wykladu ok?
bo nie mam zamiaru teraz tego wszystkiego przepisywac.

[ Dodano: 7 Września 2007, 07:52 ]
A moze ktos mi wyjasnic pierwsze, bo nie zabardzo wiem jak tam zastosowac wzor Bernoulliego