czego jest więcej: liczb R czy R+?

matemateusz · Post autor: **matemateusz** » 6 gru 2004, o 22:35

(nie wiem, czy do dobrego działu, ale nie mam pojęcia, gdzie indziej to umieścić)

Jak wiadomo, dziedziną funkcji logarytmicznej jest R+, a zbiorem wartości R.
Ponadto funkcja ta (jak każda funkcja) jednemu argumentowi przyporządkowuje
jedną wartość. Skoro jest różnowartościowa, to wartości te są różne, czyli jest ich tyle, co argumentów.
Czyli co, liczb dodatnich jest tyle samo co rzeczywistych?

Hetacz · Post autor: **Hetacz** » 6 gru 2004, o 22:40

IHMO większą moc ma R, ale nie jestem pewien

matemateusz · Post autor: **matemateusz** » 6 gru 2004, o 23:08

Też tak sądzę, ale:

1) jeśli przyjąć, że liczb R+ jest mniej niż R, to funkcja logarytmiczna
ma za mało argumentów w stosunku do wartości (bo dla jednego argumentu
ma tylko jedną wartość)

2) jeśli przyjąć, że liczb R+ jest tyle samo co R, wówczas:
ponieważ R+ c R, więc R R+ musiałoby być zbiorem pustym - a nie jest

Sprzeczność w obu przypadkach
Czyli liczb dodatnich jest więcej niż rzeczywistych

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 6 gru 2004, o 23:18

co to za herezje
LICZB DODATNICH JEST DOKLADNIE TYLE SAMO CO RZECZYWISTYCH
JEST ICH CONTINUUM

DOWOD:
istnieje bijekcja pomiedzy tymi zbiorami,
logarytm to dobry przyklad takiej bijekcji.

Post autor: **marshal** » 7 gru 2004, o 00:59

z moich ostatnich obliczen wychodzi ze tyle samo, ale zliczam je dalej ;P

Post autor: **Undre** » 7 gru 2004, o 01:45

Marshal napisz do ilu doliczyłeś bo ja sie pomyliłem po 4 h 44 min , tak to rusze od miejsca w którym skończyłeś

jh · Post autor: jh » 17 gru 2004, o 21:32

Dobra trochę się nabijacie ale czy mógłby to ktoś w miarę przystępnie wyjaśnić?

Tak na poziomie I klasy liceum, bez żadnych bijekcji?

Post autor: **Tomasz Rużycki** » 17 gru 2004, o 22:52

Wygooglaj sobie Hipotezę Continuum, a wszystko stanie się jasne Przy okazji poczytaj trochę o Cantorze

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

Post autor: **liu** » 18 gru 2004, o 13:51

W przypadku zbiorow skonczonych, mamy jasnosc kiedy maja tyle samo elementow, prawda? Ale w przypadku nieskonczonosci juz nie jest tak latwo... Ogolnie w matematyce "ta sama ilosc elementow" nazywamy rownolicznoscia zbiorow. Otoz, mowiimy, ze 2 zbiory sa rownoliczne, jesli istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna (czyli kazdemu elementowi z pierwszego zbioru przyporzadkowany jeden i tylko jeden element drugiego, i kazdemu elementowi drugiego zbioru jeden i tylko jeden pierwszego) czyli wlasnie ta nieszczesna bijekcja pomiedzy nimi. Takim sposobem mozemy na przyklad powiedziec, ze zbiory liczb naturalnych i calkowitych sa rownoliczne - takim przyporzadkowaniem bedzie:

0 - 0
1 - 1
2 - -1
3 - 2
4 - -2
i tak dalej...

"Liczbe elementow zbioru" nazywamy w ogolnosci MOCA - jesli 2 zbiory sa rownoliczne, to maja rowna moc. Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy pierwsza litera alfabetu hebrajskiego Alef z indeksem dolnym 0. Liczby naturalne maja moc Alef 0, liczby calkowite maja moc Alef 0, a nawet liczby wymierne maja moc Alef 0:)
W przypadku liczb rzeczywistych, ich moc jest wieksza niz Alef 0 i oznaczana gotycka literka c i nazywana continuum. Liczby rzeczywiste i rzeczyiwste dodatnie maja tyle samo elementow - continuum. Aby to pokazac, wystarczy wziac funkcje taka jak e^x albo logarytm:)
To jest taki ogolny zarys tego wszystkiego, nie da sie przekazac w 1 poscie podstaw teorii mnogosci, da sie to tylko 'liznac' i ciezko jest pokazac cale piekno tej teorii:) Zachecam do postudiowania nieco z np. "wstepu do matematyki wspolczesnej" Rasiowej czy tez "Wstepu do teorii mnogosci i topologii" Kuratowskiego:)
Mozna sie dowiedziec wielu ciekawych i miejscami mocno osobliwych rzeczy

Post autor: **Arek** » 18 gru 2004, o 15:16

Może jedynie dodam, że o równoliczności znajdziecie już info w Kompendium, a jak ktoś liu nie wierzy, to niech pomyśli tak: weźcie sobie oś OX, a w punktach A[0,-1] i B[0,1] umieście końce odcinka AB. OK? Teraz weźcie sobie dwa punkty: C[-1,1] i D[1,-1] i zróbcie taką sztuczkę: z punktu C prowadźcie proste, przecinające jednocześnie odcinek AB w części ponad punktem [0,0] i przecinające oś OX. Z punktu D prowadźcie proste, przecinające jednocześnie odcinek AB w części poniżej punktu [0,0] i przecinające oś OX. Co wówczas otrzymacie? Każda z wszystkich tych prostych przecina dokładnie 1 punkt wnętrza odcinka AB [poza [0,0] - tu są dwie identyczne] i jeden punkt OSI OX i JEDNOCZEŚNIE wszystkie proste przecinają wszystkie punkty wnętrza AB i każdy punkt osi OX. Zatem wnętrze odcinka AB jest równoliczne z całą osią OX. Cóż zatem dopiero całe R+. W ogóle wnętrze dowolnie krótkiego [długiego] odcinka jest równoliczne z prostą...

jh · Post autor: jh » 18 gru 2004, o 19:43

Dzięki mam jeszcze jedno pytanie: na jakiej podstawie udowodniono że liczby wymierne mają moc równą alef 0?

edit:
Dobra, znalazłem to na googlu Swoją drogą nigdy nawet nie przyszło mi do głowy żeby się nad tym zastanawiać

Post autor: **Tomasz Rużycki** » 18 gru 2004, o 20:15

Poniższy obrazek pokazuje sposób 'ustawienia' liczb wymiernych dodatnich w ciąg.

Rozpatrzmy następujące przyporządkowanie:

0 -> 1
w1 -> 2
-w1 -> 3
w2 -> 4
-w2 -> 5
...

Potem robisz to 'w drugą stronę'. Z tego wyciągamy wniosek, że skoro istnieje przyporządkowanie, które przekształca jeden zbiór w drugi oraz na odwrót, to zbiory są równoliczne (mają jednakową moc - w przypadku naturalnych jest to \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\)).

Jeszcze jedno, jako ciekawostkę umieszcze znaleziony kiedyś w sieci wierszyk:

Moc jest klasą równoważności
zbiorów w relacji równoważności.
Dla zbiorów co są w tej samej klasie
zawsze bijekcję utworzyć da się.
Funckja ta, która ma być bijekcją
musi iniekcją być i surjekcją.
Że jest iniekcją, to w innych słowach
znaczy, że jest różnowartościowa.
Nazwa surjekcja oznacza zdanie,
że jest to na zbiór odwzorowanie.
Zbiory bywają zwykle dzielone
na te skończone i nieskończone.
Zwłaszcza te drugie nas zadziwiają,
bo całkiem inne własności mają.
Mówimy, że zbiór jest przeliczalny,
gdy ma moc zbioru liczb naturalnych.
Te zbiory liczb są z nim równoliczne:
wymierne oraz algebraiczne.
Tę moc przebadał Cantor dopiero
i ją oznaczył przez alef zero.
Są jeszcze inne nieskończoności,
które niezwykła mają własności.
No bo na przykład kto by powiedział,
że równej mocy jest każdy przedział,
lub czy to fakt jest oczywisty,
że tyleż jest też liczb rzeczywistych?
Punktów na prostej? a i do tego
podzbiorów zbioru przeliczalnego?
Moc tę continuum nazywamy
oraz literą c oznaczamy.
Gdy większe chcemy uzyskać moce
musimy liczbę 2 podnieść do c.
Tyle podzbiorów to każdy przyzna
ma zbiór R, czyli płaszczyzna.
Gdy 2 do tej mocy podniesiemy
kolejną większą moc dostaniemy.
Czynność tę można kontynuować
i dalsze moce tak konstruować.
Tak otrzymamy ciąg nieskończony
z coraz to większych mocy tworzony.
Więc można podać do wiadomości:
jest nieskończoność nieskończoności!

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki