równania różniczkowe do rozwiązania

[elcia_ch]

Mam prośbę o rozwiązanie paru prostych równań różniczkowych, które mimo wszystko są dla mnie za skomplikowane...
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\arctan x}\)
\(\displaystyle{ x\cdot\frac{dy}{dx}-y=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot y}{x^{2}- 1}}\)

z góry dzięki

[Anathemed]

Ad2) Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
Rozdzielamy zmienne, przedstawiając je w takiej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}}\)
Następnie obustronnie całkujemy, otrzymując:
\(\displaystyle{ lny = lnx + c}\)
Stąd dostajemy: \(\displaystyle{ y = cx}\)

Ad3) Trochę trudniejsze, ale robi się analogicznie jak Ad2)

Ad1) Również podobnie.

[elcia_ch]

dzięki, ale z moim małym mózgiem muszę mieć dokładne rozwiązanka

[6x]

1)
Wystarczy scalkowac:
\(\displaystyle{ y}\) = \(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ arctgxdx}\) = \(\displaystyle{ xarctgx \ -}\)\(\displaystyle{ \int x}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^{2}}}\)\(\displaystyle{ dx}\) = \(\displaystyle{ xarctgx \ -}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ ln|1+x^2|}\)\(\displaystyle{ + \ C}\)

(przez części + podstawianie)

3)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) = \(\displaystyle{ \frac{xy}{x^2 - 1}}\)

z tego:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}}\) = \(\displaystyle{ \frac{x}{x^2-1}}\)\(\displaystyle{ dx}\)

całkujemy obie strony:
\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}}\) = \(\displaystyle{ ln|y|}\)

\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2 - 1}}\)\(\displaystyle{ dx}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ ln|x^2 - 1| + c}\)

i porównujemy