Granica i cos

[oZiX]

pomylilo mi sie troche:) miało być tak;)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}(cos\frac{1}{x})^x}\)

z góry bardzo dziękuje

[Anathemed]

Witam, prosił bym o pomoc z jedną granicą.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}(\frac{cos1}{x})^x}\)

z góry bardzo dziękuje

Ponieważ x -> ∞, więc możemy założyć, że \(\displaystyle{ x > |2cos1|}\)
Wtedy mamy: \(\displaystyle{ - (\frac{1}{2})^x < (\frac{cos1}{x})^x < (\frac{1}{2})^x}\)
A ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}-(\frac{1}{2})^x = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}(\frac{1}{2})^x = 0}\),
Więc z twierdzenia trzech ciągów dostajemy, że szukana granica wynosi 0

[oZiX]

wyniknal maly blad przepraszam;/ źle przepisałem zadanie i teraz jest dobrze

[setch]

\(\displaystyle{ f(x)=(\cos\frac{1}{x})^x\\
\ln f(x)=x \ln \cos \frac{1}{x}\\
A=\lim_{x \to } \ln f(x)= \lim_{x \to } x \ln \cos \frac{1}{x}=
\lim_{x \to } \frac{\ln \cos \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\stackrel{H}{=} \lim_{x \to } \frac{\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x} \frac{1}{\cos \frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to } -\frac{\sin \frac{1}{x}}{\cos \frac{1}{x}} = \lim_{x \to } - \tan \frac{1}{x}=0\\
\lim_{x \to } f(x)=e^A=e^0=1}\)

[max]

\(\displaystyle{ \ln f(x) = x\ln \cos \frac{1}{x}}\)
...