zbieżność punktowa..

[mostostalek]

Zbadać promień zbieżności i obszary zbieżności punktowej, bezwzględnej i jednostajnej szeregu potęgowego:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+2}}\)

tylko tak łopatologicznie prosze

hmm fakt nie ten szereg

[max]

Tylko, że to nie jest szereg potęgowy...

[mostostalek]

bo zły przepisałem.. teraz jest ok

[Anathemed]

Promień zbieżności: z d'Alamberta:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{x\to \infty}\frac{n+2}{n+3} = 1}\) Stąd promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{1} = 1}\)

Zbieżność punktowa: szereg na pewno jest zbieżny w obszarze promienia zbieżności, czyli w (-1,1). Należy sprawdzić jeszcze zbieżność punktową na końcach przedziału.
W x = 1, szereg ten jest rozbieżny, co można wykazać przez porównanie z szeregiem harmonicznym
W x = -1 szereg ten jest szeregiem naprzemiennym o współczynnikach dążących do zera, stąd też (kryterium Leibnitza?) jest on w tym punkcie zbieżny (do zera)
Czyli szereg ten jest zbieżny punktowo w przedziale [-1,1)

Zbieżność bezwzględna: analogicznie zbieżny w obszarze promienia zbieżności, trzeba sprawdzić zbieżność na końcach przedziału, czyli w -1, 1. W obu przypadkach szereg jest rozbieżny (wykazanie również przez porównanie do szeregu harmonicznego).
Czyli zbieżny bezwzględnie w (-1,1)

Zbieżność jednostajna: Z własności szeregu potęgowego: szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie w obszarze swojego promienia zbieżności i tylko tam, czyli jest zbieżny jednostajnie w przedziale (-1,1)

[max]

Z własności szeregu potęgowego: szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie w obszarze swojego promienia zbieżności

Jeśli przez 'obszar promienia zbieżności' rozumiesz przedział:
\(\displaystyle{ (-R, R)}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest promieniem zbieżności, to nie masz racji. Weźmy np szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}}\)
czy ogólniej dowolny szereg potęgowy rozbieżny przynajmniej w jednym z końców przedziału zbieżności - jeśli byłby zbieżny jednostajnie w całym przedziale \(\displaystyle{ (-R, R)}\) to przechodząc do granicy wyraz za wyrazem można pokazać, że byłby również zbieżny w obu końcach przedziału zbieżności.

Prawdziwe jest twierdzenie, iż szereg potęgowy:
\(\displaystyle{ (*)\quad \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}}\)
jest zbieżny jednostajnie w każdym z przedziałów postaci \(\displaystyle{ [-r, r]}\), gdzie \(\displaystyle{ r > 0}\) jest mniejsze od promienia zbieżności. (co wynika np z kryterium Weierstrassa)
Ponadto jeśli szereg \(\displaystyle{ (*)}\) jest zbieżny na końcu \(\displaystyle{ R}\) (lub \(\displaystyle{ -R}\)) przedziału zbieżności, to jest on jednostajnie zbieżny w przedziale \(\displaystyle{ [0, R]}\) (lub odpowiednio \(\displaystyle{ [-R, 0]}\)). (co można uzyskać posługując się kryterium Abela)
W związku z powyższym badany szereg jest zbieżny jednostajnie w każdym z przedziałów:
\(\displaystyle{ [-1, r]}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 }\)

A cały ten temat zdecydowanie bardziej pasuje do ciągów i szeregów funkcyjnych...

[Anathemed]

max, masz rację, moja pomyłka: szereg potęgowy jest nie jest jednostajnie na całym obszarze zawartym w promieniu zbieżności (-R,R), lecz jest niemal jednostajnie zbieżny na tym obszarze. To znaczy jest zbieżny w dowolnym domkniętym zawężeniu przedziału (-R,R).