Pewna Granica

[Azazell]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\ln x}{x^2-1}}\)

Proszę o rozwiązanie tego zadania .. tzn jakby mógł ktoś wyjaśnić po kolei jak się rozwiązuje takie granice z Logarytmami bo chyba większość się robi podobnie .. lecz ja niestety nie mam materiałów ani żadnych przykładów z tymi logarytmami.

[scyth]

Granica może być tylko prawostronna (z określoności logarytmu). Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \ln x = - }\), zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \frac{\ln x}{x^2-1} = \frac{-\infty }{-1} = +\infty }\)

[Emiel Regis]

Także prawostronna granica mi taka wychodzi, natomiast co ciekawe Maple policzył także lewostronną i jest taka sama, hmm... może on to w zespolonych liczy ??:

[Azazell]

więc zawsze jak będzie w granicach Logarytm "ln x" to go zamieniamy na nieskonczoność ?

bo np mam też taki przykład i jakoś dziwnie rozwiazany:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-3x)}{x}= \frac{\ -3 ln [1+ (-3x)]}{-3x} = - 3}\)

tak mam rozwiązany przykład i kompletnie go nie rozumiem ską się pojawiły te trójki ?
muszę jakoś opanować te zadania z logarytmami w granicach bo to zawsze dostaję na kołach i teraz na poprawcę też będzie.

[scyth]

Mamy tutaj granicę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) więc można zastosować regułę de l'Hospitala - z niej ładnie wychodzi wynik.
Co do sposobu przedstawionego przez Ciebie to można pokazać (z de l'Hospitala), że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{ax} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a}{1+ax}}{a} = 1}\)
i pewnie z tego tu skorzystano.

[Azazell]

oki dziękuje ale mam problem jeszcze z jedną granicą .. Jakbyś mógł mi tez wytłumaczyć jak to rozwiązywać bo mnie szlag trafia ..

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}}\)

[scyth]

Skorzystamy z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\infty } \left(1+\frac{1}{x} \right)^x=e}\)

Zatem musimy przekształcać:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} = \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}\cdot 6 }= \left(\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right)^6=e^6}\)

[max]

Można pokazać (z de l'Hospitala), że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{ax} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a}{1+ax}}{a} = 1}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Poza tym nie policzymy pochodnej funkcji logarytmicznej nie znając tej granicy, więc Hospital się tu nie nadaje.
Natomiast mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(1 + x)^{1/x} = e}\)
i ponieważ funkcja logarytmiczna jest ciągła, to:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1 + x)}{x} = \lim_{x\to 0}\ln (1 + x)^{1/x} = \ln e = 1}\)