Pewna Granica
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
Pewna Granica
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\ln x}{x^2-1}}\)
Proszę o rozwiązanie tego zadania .. tzn jakby mógł ktoś wyjaśnić po kolei jak się rozwiązuje takie granice z Logarytmami bo chyba większość się robi podobnie .. lecz ja niestety nie mam materiałów ani żadnych przykładów z tymi logarytmami.
Proszę o rozwiązanie tego zadania .. tzn jakby mógł ktoś wyjaśnić po kolei jak się rozwiązuje takie granice z Logarytmami bo chyba większość się robi podobnie .. lecz ja niestety nie mam materiałów ani żadnych przykładów z tymi logarytmami.
Ostatnio zmieniony 16 cze 2023, o 19:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Pewna Granica
Granica może być tylko prawostronna (z określoności logarytmu). Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \ln x = - }\), zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \frac{\ln x}{x^2-1} = \frac{-\infty }{-1} = +\infty }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \ln x = - }\), zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \frac{\ln x}{x^2-1} = \frac{-\infty }{-1} = +\infty }\)
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Pewna Granica
Także prawostronna granica mi taka wychodzi, natomiast co ciekawe Maple policzył także lewostronną i jest taka sama, hmm... może on to w zespolonych liczy ??:
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
Pewna Granica
więc zawsze jak będzie w granicach Logarytm "ln x" to go zamieniamy na nieskonczoność ?
bo np mam też taki przykład i jakoś dziwnie rozwiazany:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-3x)}{x}= \frac{\ -3 ln [1+ (-3x)]}{-3x} = - 3}\)
tak mam rozwiązany przykład i kompletnie go nie rozumiem ską się pojawiły te trójki ?
muszę jakoś opanować te zadania z logarytmami w granicach bo to zawsze dostaję na kołach i teraz na poprawcę też będzie.
bo np mam też taki przykład i jakoś dziwnie rozwiazany:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-3x)}{x}= \frac{\ -3 ln [1+ (-3x)]}{-3x} = - 3}\)
tak mam rozwiązany przykład i kompletnie go nie rozumiem ską się pojawiły te trójki ?
muszę jakoś opanować te zadania z logarytmami w granicach bo to zawsze dostaję na kołach i teraz na poprawcę też będzie.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Pewna Granica
Mamy tutaj granicę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) więc można zastosować regułę de l'Hospitala - z niej ładnie wychodzi wynik.
Co do sposobu przedstawionego przez Ciebie to można pokazać (z de l'Hospitala), że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{ax} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a}{1+ax}}{a} = 1}\)
i pewnie z tego tu skorzystano.
Co do sposobu przedstawionego przez Ciebie to można pokazać (z de l'Hospitala), że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{ax} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a}{1+ax}}{a} = 1}\)
i pewnie z tego tu skorzystano.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
Pewna Granica
oki dziękuje ale mam problem jeszcze z jedną granicą .. Jakbyś mógł mi tez wytłumaczyć jak to rozwiązywać bo mnie szlag trafia ..
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}}\)
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Pewna Granica
Skorzystamy z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\infty } \left(1+\frac{1}{x} \right)^x=e}\)
Zatem musimy przekształcać:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} = \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}\cdot 6 }= \left(\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right)^6=e^6}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\infty } \left(1+\frac{1}{x} \right)^x=e}\)
Zatem musimy przekształcać:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} = \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}\cdot 6 }= \left(\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right)^6=e^6}\)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Pewna Granica
Jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Poza tym nie policzymy pochodnej funkcji logarytmicznej nie znając tej granicy, więc Hospital się tu nie nadaje.scyth pisze:Można pokazać (z de l'Hospitala), że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{ax} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a}{1+ax}}{a} = 1}\)
Natomiast mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(1 + x)^{1/x} = e}\)
i ponieważ funkcja logarytmiczna jest ciągła, to:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1 + x)}{x} = \lim_{x\to 0}\ln (1 + x)^{1/x} = \ln e = 1}\)