obliczyc pochodne

[Kubagwk]

Obliczyć \(\displaystyle{ f'_{x}(0,0)}\) i \(\displaystyle{ f'_{x}(1,1)}\) dla \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^{3} + y{3}}{x^{2} + y{2}} ; (x,y) (0,0) \\0; (x,y) = (0,0)\end{cases}}\)

[Kasiula@]

Z definicji:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}=\lim_{\Delta x 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x, y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}\)

Czyli u Ciebie:
a) \(\displaystyle{ \frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{\Delta x 0} \frac{f(\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x 0} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{\partial f(1,1)}{\partial x}=\lim_{\Delta x 0} \frac{f(1+\Delta x, 1)-f(1,1)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x 0} \frac{(1+\Delta x)^{2}}{(1+\Delta x)^{2}+1}=\frac{1}{2}}\)

[Kubagwk]

w podpunkcie b)

b) \(\displaystyle{ \lim_{\Delta x 0} \frac{f(1+\Delta x, 1)-f(1,1)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x 0} \frac{(1+\Delta x)^{2}}{(1+\Delta x)^{2}+1}}\) jak Ci to wyszło ? czemu skróciłeś\(\displaystyle{ (1+ \Delta x)^{3}}z}\)\(\displaystyle{ \Delta x}\) która powinna być mianowniku.
Można tak ? bo innego zrozumienia nie mam dla tego rozwiązania

[Kasiula@]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\Delta x} [f(1+\Delta x,1)-f(1,1)] = \frac{1}{\Delta x} [\frac{(1+\Delta x)^{3}+1}{(1+\Delta x)^{2}+1} -1]= \frac{1}{\Delta x} [\frac{(1+\Delta x)^{3}+1-(1+\Delta x)^{2}-1}{(1+\Delta x)^{2}+1}] = \frac{1}{\Delta x} [\frac{(1+\Delta x)^{2}(1+\Delta x -1)}{(1+\Delta x)^{2}+1} ]= \frac{1}{\Delta x} \frac{(1+ \Delta x)^{2}\Delta x}{(1+\Delta x)^{2}+1}= \frac{(1+\Delta x)^{2}}{(1+\Delta x)^{2}+1}}\)

[Kubagwk]

sorki ale nie kumam
\(\displaystyle{ \frac{1}{\Delta x} [\frac{(1+\Delta x)^{3}+1}{(1+\Delta x)^{2}+1} -1]= \frac{1}{\Delta x} [\frac{(1+\Delta x)^{3}+1-(1+\Delta x)^{2}-1}{(1+\Delta x)^{2}+1}] = \frac{1}{\Delta x} [\frac{(1+\Delta x)^{2}(1+\Delta x -1)}{(1+\Delta x)^{2}+1} ]}\)

skąd w drugiej linijce wzięło się \(\displaystyle{ (1+\Delta x)^{2}}\) a potem nagle \(\displaystyle{ (1+\Delta x -1)}\) może ktoś mi to napisać bo ja tego nie widzę albo nie kumam, proszę o wyjaśnienie

[Kasiula@]

Mamy:
\(\displaystyle{ (1+\Delta x)^{3}-(1+\Delta x)^{2}=(1+\Delta x)^{2}(1+\Delta x)-1\cdot (1+\Delta x)^{2}}\)
Wyciągam przed nawias \(\displaystyle{ (1+\Delta x)^{2}}\),czyli
\(\displaystyle{ (1+\Delta x)^{2}[(1+\Delta x) -1]=(1+\Delta x)^{2}\Delta x}\)

[Kubagwk]

sory ale nadal nie wiem skąd się wzięło
\(\displaystyle{ (1+\Delta x)^{3}-(1+\Delta x)^{2}}\)
z samego \(\displaystyle{ (1+\Delta x)^{3}}\) dlaczego do tego dodałaś człon \(\displaystyle{ }-(1+\Delta x)^{2}}\) możesz mi to wyjaśnić bo ja naprawdę nie wiem
Sorki za kłopot

[Kasiula@]

\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x 0} \frac{f(1+\Delta x,1)-f(1,1)}{\Delta x} }\) definicja \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)}\)
Z określenia f(x,y):
\(\displaystyle{ f(1+\Delta x,1)=\frac{(1+\Deta x)^{3}+1^{3}}{(1+\Delta x)^{2}+1^{2}}}\)
\(\displaystyle{ f(1,1)=\frac{2}{2}=1}\)
Teraz zajmijmy się samym licznikiem \(\displaystyle{ \lim_{\Delta x 0} \frac{f(1+\Delta x,1)-f(1,1)}{\Delta x}}\),czyli \(\displaystyle{ f(1+\Delta x,1)-f(1,1)}\):
\(\displaystyle{ f(1+\Delta x,1)-f(1,1)=\frac{(1+\Deta x)^{3}+1}{(1+\Delta x)^{2}+1}-1=\frac{(1+\Deta x)^{3}+1}{(1+\Delta x)^{2}+1}-\frac{(1+\Delta x)^{2}+1}{(1+\Delta x)^{2}+1}=\frac{[(1+\Deta x)^{3}+1]-[(1+\Delta x)^{2}+1]}{(1+\Delta x)^{2}+1}=\frac{((1+\Delta x)^{3})-((1+\Delta x)^{2})}{(1+\Delta x)^{2}+1}}\)

[Kubagwk]

Wielkie dzięki teraz wszystko rozumiem. Dzięki za cierpliwość i dzięki za wytłumaczenie