Granica

[grzegorz87]

Oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{log_{n}(n^4+1)}{log_{n}(n^2+1}}\)

[max]

Uniezależnij podstawę logarytmu od \(\displaystyle{ n}\) korzystając z wzoru na zamianę podstaw:
\(\displaystyle{ \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}}\)

[grzegorz87]

nie wiem czy o to chodziło, ale dochodze do momentu takiego i nie wiem co dalej:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{log_{2}(n^4+1)}{log_{2}(n^2+1}}\)

[max]

Teraz zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{\log_{2}(n^{4} + 1)}{\log_{2}(n^{2} + 1)} = \frac{\log_{2}(n^{4} + 1) - \log_{2}n^{4} + \log_{2}n^{4}}{\log_{2}(n^{2} + 1) - \log_{2}n^{2} + \log_{2}n^{2}} =\\
=\frac{\log_{2}(1 + \frac{1}{n^{4}}) + 4\log_{2}n}{\log_{2}(1 + \frac{1}{n^{2}}) + 2\log_{2}n}}\)
i pozostaje podzielić licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \log_{2}n}\)

[setch]

można tak \(\displaystyle{ \lim_{n \to } \log_b a_n=\log_b \lim_{n \to } a_n}\)?

[max]

Jak druga granica jest skończona i mieści się w dziedzinie funkcji logarytmicznej, to przy odpowiednich założeniach co do \(\displaystyle{ b}\) czemu nie? Przecież funkcja logarytmiczna jest ciągła.