ograniczoność ciągu

[luska]

Sprawdź, czy ciag jest ograniczony i policz granicę
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a_{1}= \sqrt[]{2}\\ a_{n+1}= \sqrt[]{2+a_{n}}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ n\geq 1}\)

[max]

Ciąg jest ograniczony od góry np przez \(\displaystyle{ 2}\) (można wykazać indukcyjnie) i od dołu przez pierwszy wyraz, bo jest rosnący (też można pokazać indukcyjnie). Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym ciąg ten ma skończoną granicę. Oczywiście musi być:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }a_{n} = \lim_{n\to }a_{n+1}}\)
dla krótkości zapisu możemy oznaczyć tę granicę jako \(\displaystyle{ g}\) i pozostaje jedynie rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ g = \sqrt{2 + g}}\)
z którego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ g = 2}\)

[luska]

tak, tylko jak ograniczoność udowodnic indukcyjnie?, przynajmniej jakas podpowiedź, bo ogólnie nie mam na to zadnego pomysłu :/

[max]

Założenie:
\(\displaystyle{ a_{n} < 2}\)
Teza:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} < 2}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ x\mapsto \sqrt{x}}\) jest funkcją rosnącą, oraz \(\displaystyle{ 2 = \sqrt{4}}\).
A ponieważ z założenia \(\displaystyle{ 2 + a_{n} < 4}\), to w myśl powyższych uwag:
\(\displaystyle{ \sqrt{2 + a_{n}} < \sqrt{4} = 2}\)

[luska]

a możemy założyć, że jest ograniczony, przez 2 ?

[Piotr Rutkowski]

No zakładasz tak i przeprowadzasz potem dowód. Wszystko już max wyjaśnił.

[luska]

mnie chodziło o to, dlaczeho w założeniach bierzemy 2 a nie np. 3 , czy cos innego

[max]

To jest założenie indukcyjne. Ponieważ \(\displaystyle{ a_{1} = \sqrt{2} < 2}\), to możesz założyć, że dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) zachodzi taka nierówność, z tego wynika, że również dla \(\displaystyle{ n + 1}\) jest ona spełniona, co na mocy zasady indukcji kończy dowód.

[ Dodano: 5 Września 2007, 18:48 ]
Możesz wziąć również \(\displaystyle{ 3}\) jak i dowolną inną liczbę większą od \(\displaystyle{ 2}\).

[luska]

ale wtedy wychodzi inny wynik, wiec chodzi o to, zeby wziac najmniejsza liczbe całkowita?

[max]

No nie bardzo Cię rozumiem - jaki inny wynik? Przecież tak czy inaczej wykażemy, że nasz ciąg jest ograniczony. Dalsze kroki pozostają bez zmian. Równanie jakie należy rozwiązać później wynika bezpośrednio z podanego w treści zadania wzoru rekurencyjnego i nie ma związku ze szczegółami dowodu ograniczoności.

[luska]

a tak, przepraszam, pomyliło mi się wszystko, dzieki za pomoc