zadanie 1
w trojkacie prostokatnym dlugosci przyprostokatnych wynosza a i b. oblicz dlugosci odcinkow, na jakie dzieli przeciwprostokatną dwusieczna kata prostego.
zadanie 2
w trojkacie boki maja dlugosci 13cm, 14cm, 15cm. oblicz dlugosc promienia okregu, ktorego srodek lezy na najdluzszym boku, stycznego do pozostalych boków tego trojkata.
zadanie 3
w trojkacie prostokatnym dwusieczna kata ostrego dzieli bok przeciwległy w stosunku 2:3. oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trojkacie do pola koła wpisanego w ten trojkat.
zadanie 4
w trojkacie ABC |AC|=a, |BC|=b (a>b) i |CD|=d, gdzie CD jest odcinkiem leżącym na dwusiecznej kata ACB, zawartym w trojkacie. oblicz dlugosc boku AB tego trojkata.
zadanie 5
trojkat ostrokatny ABC, w ktorym |kąt BAC|=alfa i |kat ABC|=beta (beta
zadania z wykorzystaniem twierdzenia talesa!
-
PFloyd
- Użytkownik
- Posty: 620
- Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kęty
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 122 razy
zadania z wykorzystaniem twierdzenia talesa!
1. Z tw. sinusów
mamy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a,b,\sqrt{a^2+b^2}}\)
znamy więc
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},sin\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},sin(135-\alpha)=sin135\cdot cos\alpha +sin\alpha cos135,sin(135-\beta)=sin135 cos\beta + sin\beta cos135}\)
i z tw. sunusów (szukane dł. to x i y):
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin45}=\frac{a}{sin(135-\alpha)}}\)
analogicznie obliczasz y
zadanie 2. można z kolei w prosty sposób rozwiązać stosując tw. cosinusów
mając wszystkie boki trójkąta, mamy z tw. cosinusów wartości cosinusa wszystkich jego kątów - powiedzy że \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między bokami o dł. 15 i 14, a kąt \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt między bokami 15 i 13.
Dalej, oznaczmy poprzez x odległość między środkiem okręgu, a wierzchołkiem kąta zawartego miedzy bokami o dł 14 i 13, poprzez y, odległośc między środkiem okręgu, a wierzchołkiem kąta zawartego między bokami o dł 15 i 13. Wtedy (z tw. cosinusów) mamy:
\(\displaystyle{ x^2=14^2+(15-y)^2-2\cdot 14\cdot (15-y)\cdot cos\alpha \\
x^2=13^2+y^2-2\cdot 13\cdot y cos\beta}\)
a stąd, odejmując równania stronami, obliczmy y, potem x.
Z tw. cosinusów możemy też obliczyć \(\displaystyle{ cos\gamma}\) gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to kąt między bokami o dł. 13 i 14. \(\displaystyle{ \frac{\gamma}{2}}\) to kąt miedzy bokami x i 14, jak i również między x i 13 - obliczamy go ze wzoru \(\displaystyle{ cos\frac{\gamma}{2}=+-\sqrt{\frac{1+cos\gamma}{2}}}\)
I wreszcie na koniec, \(\displaystyle{ \frac{r}{x}=sin\frac{\gamma}{2}}\).
zadanie 3.
oczywistym jest, że przeciwprostokątna ma długość równą 2R
natomiast \(\displaystyle{ r=\frac{x+a+b-2R}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{r}=\frac{2R}{x+a+b-2R}}\)
z rysunku i z danych:
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}=sin(90-\alpha)=cos\alpha=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2R}=sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\\
\frac{x}{2R}=cos\alpha=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{r}=\frac{2R}{2R(\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{2}{3}-1)}=\frac{3+3\sqrt{5}}{4}}\)
mamy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a,b,\sqrt{a^2+b^2}}\)
znamy więc
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},sin\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},sin(135-\alpha)=sin135\cdot cos\alpha +sin\alpha cos135,sin(135-\beta)=sin135 cos\beta + sin\beta cos135}\)
i z tw. sunusów (szukane dł. to x i y):
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin45}=\frac{a}{sin(135-\alpha)}}\)
analogicznie obliczasz y
zadanie 2. można z kolei w prosty sposób rozwiązać stosując tw. cosinusów
mając wszystkie boki trójkąta, mamy z tw. cosinusów wartości cosinusa wszystkich jego kątów - powiedzy że \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między bokami o dł. 15 i 14, a kąt \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt między bokami 15 i 13.
Dalej, oznaczmy poprzez x odległość między środkiem okręgu, a wierzchołkiem kąta zawartego miedzy bokami o dł 14 i 13, poprzez y, odległośc między środkiem okręgu, a wierzchołkiem kąta zawartego między bokami o dł 15 i 13. Wtedy (z tw. cosinusów) mamy:
\(\displaystyle{ x^2=14^2+(15-y)^2-2\cdot 14\cdot (15-y)\cdot cos\alpha \\
x^2=13^2+y^2-2\cdot 13\cdot y cos\beta}\)
a stąd, odejmując równania stronami, obliczmy y, potem x.
Z tw. cosinusów możemy też obliczyć \(\displaystyle{ cos\gamma}\) gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to kąt między bokami o dł. 13 i 14. \(\displaystyle{ \frac{\gamma}{2}}\) to kąt miedzy bokami x i 14, jak i również między x i 13 - obliczamy go ze wzoru \(\displaystyle{ cos\frac{\gamma}{2}=+-\sqrt{\frac{1+cos\gamma}{2}}}\)
I wreszcie na koniec, \(\displaystyle{ \frac{r}{x}=sin\frac{\gamma}{2}}\).
zadanie 3.
oczywistym jest, że przeciwprostokątna ma długość równą 2R
natomiast \(\displaystyle{ r=\frac{x+a+b-2R}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{r}=\frac{2R}{x+a+b-2R}}\)
z rysunku i z danych:
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}=sin(90-\alpha)=cos\alpha=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2R}=sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\\
\frac{x}{2R}=cos\alpha=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{r}=\frac{2R}{2R(\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{2}{3}-1)}=\frac{3+3\sqrt{5}}{4}}\)