Witam
mam problem z obliczeniem ekstremów moje gryzgoły mowia coś innego, odreczny rysunek cos innego
oto ta funkcja :
\(\displaystyle{ y=|1-x^{2}|}\)
prosze o wmiare rozpisanie ponieważ właśnie sie gubię przy połączeniu pochodnej z wartością bezwzględna (ostrza itp)
Ekstremum i wartość bezwzgledna
- Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Ekstremum i wartość bezwzgledna
Przypadek 1) \(\displaystyle{ 1 - x^2 qslant 0}\), czyli \(\displaystyle{ x (-1, 1)}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ y = 1 - x^2}\), skąd \(\displaystyle{ y' = -2x}\), skąd otrzymujemy ekstremum w x = 0 (pamiętajmy, aby sprawdzić czy x należy do przediału (-1,1). Oczywiście \(\displaystyle{ 0 (-1, 1)}\))
Analogicznie dla \(\displaystyle{ 1 - x^2 < 0}\), nie otrzymujemy ekstremów.
Pozostaje jeszcze zbadanie punktów w których nasza funkcja nie posiada pochodnej - są to punkty: x = -1 i x = 1.
Zauważmy że pochodne lewostronne i prawostronne punktu x=1 (takowe istnieją) mają przeciwne znaki. Oznacza to, że x=1 również jest ekstremum. Analogicznie x = -1 jest ekstremum.
Tak więc nasza funkcja posiada ekstrema w punktach: x = -1,0,1
Tak się generalnie postępuje przy funkcjach z ostrzami - gdy funkcja ma ostrze w jakimś punkcie (wtedy nie ma tam pochodnej, przez co nie możemy skorzystać z twierdzenia o zerowaniu się pochodnej w ekstremum), należy tam sprawdzić czy znaki pochodnych lewo i prawostronnej są takie same czy różne.
wtedy:
\(\displaystyle{ y = 1 - x^2}\), skąd \(\displaystyle{ y' = -2x}\), skąd otrzymujemy ekstremum w x = 0 (pamiętajmy, aby sprawdzić czy x należy do przediału (-1,1). Oczywiście \(\displaystyle{ 0 (-1, 1)}\))
Analogicznie dla \(\displaystyle{ 1 - x^2 < 0}\), nie otrzymujemy ekstremów.
Pozostaje jeszcze zbadanie punktów w których nasza funkcja nie posiada pochodnej - są to punkty: x = -1 i x = 1.
Zauważmy że pochodne lewostronne i prawostronne punktu x=1 (takowe istnieją) mają przeciwne znaki. Oznacza to, że x=1 również jest ekstremum. Analogicznie x = -1 jest ekstremum.
Tak więc nasza funkcja posiada ekstrema w punktach: x = -1,0,1
Tak się generalnie postępuje przy funkcjach z ostrzami - gdy funkcja ma ostrze w jakimś punkcie (wtedy nie ma tam pochodnej, przez co nie możemy skorzystać z twierdzenia o zerowaniu się pochodnej w ekstremum), należy tam sprawdzić czy znaki pochodnych lewo i prawostronnej są takie same czy różne.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 1 raz
Ekstremum i wartość bezwzgledna
racja zapomniałem o 1 -1 , a mogłbym Cie prosić o wypisanie jak zachowuja się w tej granicy ilorazu róźnicowego. Chodzi o to czy -1 podstawiamy pod x i to wstawiamy do definicji pochodnej ? druga wątpliwość to jak wartość bezwzględna "znika" z granicy.
- Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Ekstremum i wartość bezwzgledna
takpawel000 pisze:Chodzi o to czy -1 podstawiamy pod x i to wstawiamy do definicji pochodnej ?
Wartość bezwzględna nie znika przy obliczaniu granicy, jest wręcz "kluczowa"druga wątpliwość to jak wartość bezwzględna "znika" z granicy.
Najlepiej pokażę na przykładzie jak obliczyć granicę prawostronną dla x = 1:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{|1 - (1+h)^2| - |1 - 1^2|}{h} = \frac{|-h^2-2h|}{h} = |h+2|\frac{|h|}{h} = \frac{|h|}{h}}\)
A ten ułamek równy jest -1 dla h dążącego do zera "z dołu" i 1 dla dążącego do góry. Różne znaki - czyli jest ekstremum
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 1 raz
Ekstremum i wartość bezwzgledna
dzieki teraz zrozumiałem ale
co się dzieje dla takiej funkcji: w jaki sposob tutaj to ekstremum pokazac
\(\displaystyle{ y=|e^{x}-1|}\)
co się dzieje dla takiej funkcji: w jaki sposob tutaj to ekstremum pokazac
\(\displaystyle{ y=|e^{x}-1|}\)