Rozwiń w szereg Maclaurina

sandarak19 · Post autor: **sandarak19** » 5 wrz 2007, o 12:37

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}}\) Ma ktoś może pomysł jak to rozwinąć?

max · Post autor: **max** » 5 wrz 2007, o 12:49

Rozłóż na ułamki proste.

Anathemed · Post autor: **Anathemed** » 5 wrz 2007, o 13:02

sandarak19 pisze:\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}}\) Ma ktoś może pomysł jak to rozwinąć?

Rozbijamy na ułamki proste:
Zauważ że \(\displaystyle{ \frac{2x-5}{x^{2}-5x+6} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3}}\)
Teraz korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-2} = -\frac{1}{2}*\frac{1}{1-\frac{x}{2}} = - \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}*(\frac{x}{2})^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-3} = -\frac{1}{3}*\frac{1}{1-\frac{x}{3}} = - \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3}*(\frac{x}{3})^n}\)

Teraz wystarczy to dodać, delikatnie przekształcić i mamy nasz szereg.

sandarak19 · Post autor: **sandarak19** » 5 wrz 2007, o 14:59

Możesz zapisać końcowy wynik?

Anathemed · Post autor: **Anathemed** » 5 wrz 2007, o 15:24

sandarak19 pisze:Możesz zapisać końcowy wynik?

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } -(\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}})x^n}\)