Płaszczyzny styczne i prostopadłe; kresy

[carool]

Witam,
zły los zmusił mnie do zdawania egzaminu poprawkowego z analizy. Dłużej przystanąłem nad zagadnieniem szukania prostych stycznych i prostopadłych do płaszczyzny oraz płaszczyzn stycznych i prostopadłych do zbioru. Wydaje się ono proste, no ale kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać. Wkleję przykładowe zadania i poproszę o rozwiązania, najlepiej z jakimś komentarzem. Może istnieje jakiś algorytm postępowania przy takich zadaniach?

1) Niech \(\displaystyle{ B:=\{(x,y,z): x^2+y^2-z^2=12\}}\). Znaleźć płaszczyznę styczną i prostopadłą do zbioru B w punkcie \(\displaystyle{ (3,2,1)}\).

2) Zdefiniujmy zbiór \(\displaystyle{ B=\{(x,y): y^2=x^2(1-x)^2\}}\). Znaleźć prostą styczną i prostopadłą w punkcie \(\displaystyle{ (2,-2)}\).

Mam też pytanie odnośnie zadania o szukaniu kresów.

3) Znaleźć kres dolny i górny odległości punktów \(\displaystyle{ \{(x,y): {x^2 \over 9}+{y^2 \over 4}=1\}}\) od punktu \(\displaystyle{ ({4 \over 3},0)}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[Arek]

Jeżeli chodzi o płaszczyznę styczną i prostopadłą, istnieje algorytm postępowania w określonych sytuacjach:

Po pierwsze musimy mieć rozmaitość. Przypomnijmy dwie przydatne definicje rozmaitości k - wymiarowej w przestrzeni n - wymiarowej.

DEF 0 (mapa)

Mamy zbiór otwarty \(\displaystyle{ U R^k}\), oraz funkcję \(\displaystyle{ \phi : U R^n}\) gdzie kk. NIech:
\(\displaystyle{ M = \{x\in U|f(x)=0\}}\). Jeżeli jakobian przekształcenia f ma maksymalny rząd dla każdego x należącego do M, to M jest rozmaitością wymiaru l-k.

--

W Twoim przypadku mamy drugą definicję. Teraz do meritum. Jak wyznaczyć przestrzeń styczną w danym punkcie x?

W definicji pierwszej mamy, że dla danego punktu x istnieje mapa \(\displaystyle{ (\phi_i,U_i)}\), taka, że x leży w obrazie tej mapy (jest więc to ten kawałek sumy z definicji, do którego należy x). Teraz przestrzeń styczna w punkcie x do tej rozmaitości jest rozpięta przez kolumny jakobianu przekształcenia \(\displaystyle{ \phi_{i}}\) w punkcie, który przekształcenie to posyła w x (a jest to homeomorfizm, zatem jednoznacznie wiemy jaki to punkt). Przestrzeń prostopadłą można obliczyć metodami algebry liniowej znając przestrzeń styczną.

W przypadku definicji 2, przestrzeń prostopadła w punkcie x jest rozpięta przez wiersze jakobianu przekształcenia f w punkcie x.

[Amon-Ra]

Mała uwaga - być może piszemy o dwóch różnych rzeczach, ale jakobian to nie macierz, tylko liczba, trudno więc oczekiwać, aby miała wiersze i kolumny . Pewnie chodziło Ci o macierz Jacobiego (pierwszej pochodnej odwzorowania), jakobian zaś to jej wyznacznik.

[Arek]

Oczywiście, masz rację. Już podczas pisania czułem, że coś jest nie tak