ciąg arytmetyczny

[mat1989]

Wykaż, że jeżeli kwadraty trzech liczb dodatnich a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny to również liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{b+c}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{c+a}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}}\) tworzą ciąg arytmetyczny.

[Tristan]

Z pierwszej części zadania wiemy, że zachodzi \(\displaystyle{ b^2 -a^2=c^2 - b^2}\). Teraz wystarczy, że równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{c+a} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{c+a}}\) przekształcisz do tej właśnie postaci, co będzie kończyło dowód.

[mat1989]

ok:) a w jaki sposób to przekształcić?

[Amon-Ra]

Wypadałoby sprowadzić do wspólnego mianownika, albo co... . Potem można przekształcać na kilka sposobów.

[mat1989]

wspólny mianownik to będzie (c+a)(b+a)(a+c)?

[Amon-Ra]

Odejmujemy od siebie dwa wyrażenia, a nie trzy .

Cóż, to bądź co bądź rozwiązanie Tristana, więc już uciekam, co by mu tematu spod nosa nie podbierać .

[Tristan]

Dziękuję Amon-Ra . Rzadko się na forum widzi taką uczciwość
Już piszę, jak to przekształcałem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{c+a} - \frac{1}{b+c}= \frac{1}{a+b} - \frac{1}{c+a} \\ \frac{b+c-c-a}{(b+c)(c+a)} = \frac{c+a-a-b}{ (a+b)(c+a) } \\ \frac{b-a}{ (b+c)(c+a) } = \frac{c-b}{ (a+b)(c+a) } \\ (b-a)(a+b)=(c-b)(b+c) \\ b^2 - a^2=c^2 - b^2}\)

[mat1989]

ok, widzę już wszystko. Dziękuje za pomoc.

[Amon-Ra]

Rzadko się na forum widzi taką uczciwość

Nie ma za co dziękować, wszak niegrzecznie byłoby, abym dokończył rozwiązanie, które Ty rozpocząłeś .