wykazać stałość funkcji

[ta_paula]

Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=cos^{2}x+cos^{2}(\frac{\pi}{3}+x)-cosxcos(\frac{\pi}{3}+x)}\) jest stała

[Lady Tilly]

\(\displaystyle{ y=cos^{2}x+(cos\frac{\pi}{3}cosx-sin\frac{\pi}{3}sinx)^{2}-cosx(cos\frac{\pi}{3}cosx-sin\frac{\pi}{3}sinx)}\)
\(\displaystyle{ y=cos^{2}x+(\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx)^{2}-cosx(\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx)}\)
dalej
\(\displaystyle{ y=cos^{2}x+\frac{1}{4}cos^{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsinx+\frac{3}{4}sin^{2}x-\frac{1}{2}cos^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsinx}\)
a przecież \(\displaystyle{ cos^{2}x+\frac{3}{4}sin^{2}x=1-\frac{1}{4}sin^{2}x}\) stąd po zredukowaniu wyrazów powstaje \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{4}sin^{2}x+\frac{1}{4}cos^{2}x-\frac{1}{2}cos^{2}x=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}sin^{2}x+\frac{1}{4}sin^{2}x=0,75}\)

[Kostek]

\(\displaystyle{ f'(x)=-2sinxcosx-2sin(\frac{\pi}{3}+x)cos(\frac{\pi}{3}+x)-(-sinxcos(\frac{\pi}{3}+x)-}\)
\(\displaystyle{ cosxsin(\frac{\pi}{3}+x))=-sin2x-sin(2x+\frac{2\pi}{3})+sin(2x+\frac{\pi}{3})=-2sin(2x+\frac{\pi}{3})cos\frac{\pi}{3}+sin(2x+\frac{\pi}{3})=0}\)