Proszę o rozwiązanie kilku zadań. Każda osoba, którą pytam podaje inny wynik, a ja nie jestem pewny swoich rozwiązań.
1. obliczyć \(\displaystyle{ y''+y' = cos2x}\)
2. obliczyć gradient \(\displaystyle{ e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}}\)
3. obliczyć moment obszaru ograniczonego liniami \(\displaystyle{ x=2; y=0; y=x^3}\)
4. obliczyć promień dla \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n} n!}{(2n)!} x^{n}}\)
5. obliczyć Pracę siły \(\displaystyle{ F=[x+y^{2}, x^{2}+y]}\) po łuku \(\displaystyle{ y=x^{3}}\) od A[0,0] do B[1,1]
6. Dane jest pole wektorowe \(\displaystyle{ F[\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}; \frac{2}{y}- \frac{x}{y^{2}}]}\) . Sprawdzić czy pole wektorowe jest polem potencjalnym
7. obliczyć 1/4 masy koła o równaniu \(\displaystyle{ y^{2} + x^{2} = R^{2}}\) (z całki podwójnej)
Lekko poprawiłem zapis. luka52
kilka zadań z PP
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
kilka zadań z PP
ad 2.
\(\displaystyle{ \nabla ft( e^{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) = ft[ \frac{x e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \, \frac{y e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right]}\)
ad 3.
Moment statyczny czy bezwładności
ad 6.
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} ft( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = -y^{-2}\\
\frac{\partial}{\partial x} ft( \frac{2}{y} - \frac{x}{y^2} \right) = - y^{-2}}\)
Czyli pole to jest polem potencjalnym
ad 7.
Zakładam, że gęstość koła jest stała.
Wtedy:
\(\displaystyle{ M = \rho t\limits_0^{\pi /2} \, \mbox{d}\theta t\limits_0^R r \, \mbox{d}r = \frac{\rho \pi R^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ \nabla ft( e^{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) = ft[ \frac{x e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \, \frac{y e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right]}\)
ad 3.
Moment statyczny czy bezwładności
ad 6.
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} ft( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = -y^{-2}\\
\frac{\partial}{\partial x} ft( \frac{2}{y} - \frac{x}{y^2} \right) = - y^{-2}}\)
Czyli pole to jest polem potencjalnym
ad 7.
Zakładam, że gęstość koła jest stała.
Wtedy:
\(\displaystyle{ M = \rho t\limits_0^{\pi /2} \, \mbox{d}\theta t\limits_0^R r \, \mbox{d}r = \frac{\rho \pi R^2}{4}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 4 wrz 2007, o 10:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 5 razy
kilka zadań z PP
ad 3. Statyczny, zapomniałem dopisać.
ad 7. Gęstość stała. Mógłbyś wytłumaczyć i rozpisać rozwiązanie?
Dzięki za odpowiedzi i poprawki.
ad 7. Gęstość stała. Mógłbyś wytłumaczyć i rozpisać rozwiązanie?
Dzięki za odpowiedzi i poprawki.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
kilka zadań z PP
ad 7.
Gęstość jest stała więc można ją wyłączyć przed całki. Same całki to pole ćwiartki koła we wsp. biegunowych - promień zmienia się od 0 do R, a kąt od 0 do pi/2 - tak jak w ćwiartce koła.
ad 3.
No dobrze, ale względem czego jeszcze należy ten moment statyczny obliczyć
Gęstość jest stała więc można ją wyłączyć przed całki. Same całki to pole ćwiartki koła we wsp. biegunowych - promień zmienia się od 0 do R, a kąt od 0 do pi/2 - tak jak w ćwiartce koła.
ad 3.
No dobrze, ale względem czego jeszcze należy ten moment statyczny obliczyć
- Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
kilka zadań z PP
Ad 4. Możesz się posłużyć definicją promienia zbieżności:
\(\displaystyle{ R=\limsup_{n\to\infty }\frac{1}{\lambda_n} \\ \lambda_n = \sqrt[n]{|a_n|}}\)
\(\displaystyle{ a_n}\) to oczywiście n-ty wyraz ciągu, z którym związany jest szereg funkcyjny. Po skorzystaniu np. z twierdzenia o trzech ciągach otrzymasz \(\displaystyle{ \lambda\to 0}\) i przez to nieskończony promień zbieżności, stąd szereg funkcyjny jest zbieżny \(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}}}\).
Ad 5. Praca to całka krzywoliniowa:
\(\displaystyle{ W=\int_s \vec{F}\circ d\vec{s}}\)
Ale \(\displaystyle{ y=x^3}\), zatem \(\displaystyle{ d\vec{s}=\left[ dx, 3x^2dx \right]}\) oraz:
\(\displaystyle{ W=\int_{x_1}^{x_2}\left[ x+x^6, \ x^2+x^3]\circ ft[ 1, \ 3x^2\right] dx}\)
\(\displaystyle{ R=\limsup_{n\to\infty }\frac{1}{\lambda_n} \\ \lambda_n = \sqrt[n]{|a_n|}}\)
\(\displaystyle{ a_n}\) to oczywiście n-ty wyraz ciągu, z którym związany jest szereg funkcyjny. Po skorzystaniu np. z twierdzenia o trzech ciągach otrzymasz \(\displaystyle{ \lambda\to 0}\) i przez to nieskończony promień zbieżności, stąd szereg funkcyjny jest zbieżny \(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}}}\).
Ad 5. Praca to całka krzywoliniowa:
\(\displaystyle{ W=\int_s \vec{F}\circ d\vec{s}}\)
Ale \(\displaystyle{ y=x^3}\), zatem \(\displaystyle{ d\vec{s}=\left[ dx, 3x^2dx \right]}\) oraz:
\(\displaystyle{ W=\int_{x_1}^{x_2}\left[ x+x^6, \ x^2+x^3]\circ ft[ 1, \ 3x^2\right] dx}\)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
kilka zadań z PP
Raczej \(\displaystyle{ R =\liminf_{n\to } \frac{1}{\lambda_{n}}}\)Amon-Ra pisze:Ad 4. Możesz się posłużyć definicją promienia zbieżności:
\(\displaystyle{ R=\limsup_{n\to\infty }\frac{1}{\lambda_n} \\ \lambda_n = \sqrt[n]{|a_n|}}\)
Nie jest to jednak definicja promienia zbieżności, tylko twierdzenie Cauchy-ego-Hadamarda, które z tej definicji wynika.
Promień zbieżności szeregu postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n = k}^{\infty}a_{n}x^{n}}\)
definiuje się jako kres górny przedziału, w którym szereg ten jest zbieżny.
- Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
kilka zadań z PP
Owszem, niemniej jednak wzór jest poprawny i może być wykorzystany do obliczenia promienia, czemu chyba nie zaprzeczysz .
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
kilka zadań z PP
Nie chcę, aby powstały jakieś niejasności dla autora tematu, więc napiszę tak:
\(\displaystyle{ R = \liminf_{n\to } \frac{1}{\lambda_{n}}}\)
ten wzór jest poprawny i pomocny przy obliczaniu promienia zbieżności.
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ R = \liminf_{n\to } \frac{1}{\lambda_{n}}}\)
ten wzór jest poprawny i pomocny przy obliczaniu promienia zbieżności.
Pozdrawiam