Witam!
Nie korzystając z interpretacji geometrycznej wykaż nierówności:
\(\displaystyle{ \sin{x} < x < \tan {x}}\) dla \(\displaystyle{ x (0,\frac{\pi}{2})}\).
Podejrzewam, że należy skorzystać z rachunku różniczkowego, ale pomimo wielu prób nie udało mi się wpaść na właściwy trop.
Wykazać poprawność nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Wykazać poprawność nierówności
Udowodnimy dwie nierówności, tj.
I \(\displaystyle{ \sin x }\)
II \(\displaystyle{ x }\)
ad I
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin x - x}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f'(x) = \cos x - 1}\)
A ponieważ f(0) = 0 i f'(x) \(\displaystyle{ \sin x - x }\)
ad II
Analogicznie
I \(\displaystyle{ \sin x }\)
II \(\displaystyle{ x }\)
ad I
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin x - x}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f'(x) = \cos x - 1}\)
A ponieważ f(0) = 0 i f'(x) \(\displaystyle{ \sin x - x }\)
ad II
Analogicznie
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wykazać poprawność nierówności
Cały zabieg jest trochę bez sensu, bo przy liczeniu pochodnej funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \sin x}\) korzystamy z dowodzonej nierówności...
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wykazać poprawność nierówności
Nie wiem, po prostu stwierdziłem, że to jest dowód przez założenie tezy. Niewykluczone, że autor zadania miał właśnie coś takiego na myśli, choć mam nadzieję, że nie...
Mogę spytać skąd to zadanie pochodzi?
Mogę spytać skąd to zadanie pochodzi?
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
Wykazać poprawność nierówności
Witam!
Nigdzie nie było narzucone, by skorzystać z rachunku różniczkowego, tylko tak zasugerowałem na początku. To wydaje się jednak najbardziej logiczne.
Zadanie 1. z 1.1.2 Rok 2003 - Termin II (strona 3 u dołu):
Nigdzie nie było narzucone, by skorzystać z rachunku różniczkowego, tylko tak zasugerowałem na początku. To wydaje się jednak najbardziej logiczne.
Zadanie 1. z 1.1.2 Rok 2003 - Termin II (strona 3 u dołu):