Wykazać poprawność nierówności

Kaktusiewicz · Post autor: **Kaktusiewicz** » 3 wrz 2007, o 18:32

Witam!
Nie korzystając z interpretacji geometrycznej wykaż nierówności:
\(\displaystyle{ \sin{x} < x < \tan {x}}\) dla \(\displaystyle{ x (0,\frac{\pi}{2})}\).
Podejrzewam, że należy skorzystać z rachunku różniczkowego, ale pomimo wielu prób nie udało mi się wpaść na właściwy trop.

luka52 · Post autor: **luka52** » 3 wrz 2007, o 19:02

Udowodnimy dwie nierówności, tj.
I \(\displaystyle{ \sin x }\)
II \(\displaystyle{ x }\)

ad I
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin x - x}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f'(x) = \cos x - 1}\)
A ponieważ f(0) = 0 i f'(x) \(\displaystyle{ \sin x - x }\)

ad II
Analogicznie

max · Post autor: **max** » 3 wrz 2007, o 19:31

Cały zabieg jest trochę bez sensu, bo przy liczeniu pochodnej funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \sin x}\) korzystamy z dowodzonej nierówności...

luka52 · Post autor: **luka52** » 3 wrz 2007, o 19:40

max, zgadza się, ale skoro należy zastosować wiedzę z rachunku różniczkowego to jest jakiś inny sposób

max · Post autor: **max** » 3 wrz 2007, o 20:43

Nie wiem, po prostu stwierdziłem, że to jest dowód przez założenie tezy. Niewykluczone, że autor zadania miał właśnie coś takiego na myśli, choć mam nadzieję, że nie...
Mogę spytać skąd to zadanie pochodzi?

Kaktusiewicz · Post autor: **Kaktusiewicz** » 3 wrz 2007, o 21:55

Witam!
Nigdzie nie było narzucone, by skorzystać z rachunku różniczkowego, tylko tak zasugerowałem na początku. To wydaje się jednak najbardziej logiczne.
Zadanie 1. z 1.1.2 Rok 2003 - Termin II (strona 3 u dołu):