Równoliczność zbiorów

[Kris-0]

Zadanie:
Pokaż, że:
a) zbiory \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) są równoliczne
b) zbiory \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Q_+}}\) mają taką samą liczbę elementów
c) zbiory \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) są równoliczne
d) zbiór \(\displaystyle{ (0;1)}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

[mostostalek]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{1}&\frac{2}{1}&\frac{3}{1}&\frac{4}{1}&...\\\frac{1}{2}&\frac{2}{2}&\frac{3}{2}&\frac{4}{2}&...\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{3}{3}&\frac{4}{3}&...\\\frac{1}{4}&\frac{2}{4}&\frac{3}{4}&\frac{4}{4}&...\end{array}\right]}\)

można narysować taką macierz nieskończoną, w której każdy wyraz będzie typu \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) gdzie m to numer kolumny a n - numer wiersza

w ten sposób uzyskasz wszystkie dodatnie liczby wymierne.. i teraz jedziesz po skosie i przyporządkowujesz kolejnej liczbie naturalnej liczbę wymierną..

czyli dla przykładu liczbie 1 przyporządkowujesz 1/1, 2 - 2/1, 3 - 1/2, 4 - 3/1, 5 - 3/2, itd..

to jest pokazanie równoliczności zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Q_+}}\)

podobnie pokazuje się równoliczność \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).. tylko liczby wymierne dodatnie przyporządkowujesz liczbom naturalnym parzystym, liczbom naturalnym nieparzystym(prócz 1) przyporządkowujesz liczby wymierne ujemne.. jedynce przyporządkowujesz 0.. i git

[ Dodano: 3 Września 2007, 16:35 ]
równoliczność \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) pokazujesz w analogiczny sposób..

[Kris-0]

a przykład d)?

[mostostalek]

a przykład d był na zajęciach ale nie pamiętam bo to dawno było

[max]

Przykład d) jest chyba najprostszy, np
\(\displaystyle{ f(x) = \cot \pi x}\)
lub:
\(\displaystyle{ g(x) = \begin{cases}-\frac{1}{x} + 2, \ x\in \left(0, \tfrac{1}{2}\right]\\ -\frac{1}{x - 1} - 2, \ x\in \left(\tfrac{1}{2}, 1\right)\end{cases}}\)
stanowi bijekcję między tymi zbiorami.

A co do tego przykładu powyżej, to należałoby jeszcze z tej macierzy powykreślać wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}, \ p, q \in \mathbb{N}}\) takie, że: \(\displaystyle{ \mbox{NWD}(p,q) > 1}\), w innym wypadku wykażemy tylko, że:
\(\displaystyle{ |\mathbb{Q_{+}}|\leqslant |\mathbb{N}|}\).
Chyba, że chcemy później skorzystać z twierdzenia Cantora-Bernsteina.