Pokazanie przynależności liczby do zbioru

[Kris-0]

Wahalem się czy zadanie zamieścic tutaj czy może z dziale Zbiory. Teoria mnogości. Zadanie jednak zdecydowałem zamieścić w dziale Teorii liczb.Gdyby jednak dział nie pasował proszę o przeniesienie.

Zadanie:
Pokaż, że:
a) jeśli liczba p i q jest wymierna (\(\displaystyle{ p, q \mathbb{Q}}\)), to liczba p+q także jest wymierna (czyli \(\displaystyle{ p + q \mathbb{Q}}\)).
b) jeśli liczba p jest wymierna (\(\displaystyle{ p \mathbb{Q}}\)) i q jest niewymierna (\(\displaystyle{ q \mathbb{IQ}}\)), to liczba p+q jest niewymierna (\(\displaystyle{ p + q \mathbb{IQ}}\)).
c) oznaczmy przez \(\displaystyle{ \mathbb{Q_+}}\) zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba \(\displaystyle{ p \mathbb{Q_+}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{p} \mathbb{IQ}}\) i \(\displaystyle{ q \mathbb{Q_+}}\), to \(\displaystyle{ (\sqrt{p}+q)^2 \mathbb{IQ}}\).

[max]

Dobrze wybrałeś dział. Teoria mnogości zajmuje się ogólniejszym badaniem zbiorów bez wnikania w istotę elementów do nich przynależących.

a) Z definicji liczby wymiernej mamy:
\(\displaystyle{ p = \frac{a_{1}}{b_{1}}, \ a_{1}, b_{1} \mathbb{Z},\ b_{1} 0\\
q = \frac{a_{2}}{b_{2}}, \ a_{2},b_{2} \mathbb{Z}, \ b_{2}\neq 0}\)
więc:
\(\displaystyle{ p + q = \frac{a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}}}\)
a ponieważ działanie dodawania i mnożenia jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych, to:
\(\displaystyle{ a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}\in \mathbb{Z}, \ b_{1}b_{2} \mathbb{Z}}\)
ponadto z założeń \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}\neq 0}\) wynika również, że:
\(\displaystyle{ b_{1}b_{2}\neq 0}\)
I ostatecznie \(\displaystyle{ p + q \mathbb{Q}}\)

b) Załóżmy, że jest inaczej, tzn \(\displaystyle{ p + q \mathbb{Q}}\), czyli:
\(\displaystyle{ p+q = \frac{a}{b}, \ a, b\in \mathbb{Z}, \ b 0}\)
Wtedy, jeśli przyjmiemy
\(\displaystyle{ p = \frac{n}{m}, \ n, m \mathbb{Z}, \ m\neq 0}\)
to:
\(\displaystyle{ q = \frac{a}{b} - \frac{n}{m} = \frac{am - bn}{mn}\in \mathbb{Q}}\)
co stoi w sprzeczności z założeniem o niewymierności \(\displaystyle{ q}\), więc \(\displaystyle{ p + q}\) musi być liczbą niewymierną.

c) \(\displaystyle{ (*)\quad (\sqrt{p} + q)^{2} = p + q^{2} + 2q\sqrt{p}}\)
ale jeśli:
\(\displaystyle{ 2q\sqrt{p} = \frac{a}{b}, \ a,b \mathbb{Z}, \ b\neq 0}\)
to przyjmując:
\(\displaystyle{ q = \frac{n}{m}, \ m,n \mathbb{Z}, \ m\neq 0}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{p} = \frac{am}{2bn}\in \mathbb{Q}}\)
(z założenia \(\displaystyle{ q\neq 0}\), więc możemy przez tę liczbę podzielić obie strony)
co stoi w sprzeczności z założeniem o niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\), czyli \(\displaystyle{ 2q\sqrt{p}}\) jest niewymierne, a ponieważ \(\displaystyle{ (*)}\) to na mocy a) i b) dostajemy tezę.

[Kris-0]

Pozwól, że napiszę jak to rozumiem a Ty orzekniesz czy dobrze czy źle
a)
Jeżeli \(\displaystyle{ a,b \mathbb{Z}}\) to \(\displaystyle{ a+b \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ ab \mathbb{Z}}\) za czym idzie, że np. liczba \(\displaystyle{ x=\frac{a+b}{ab}}\) jest liczbą wymierną (\(\displaystyle{ x \mathbb{Q}}\))

b)
Tutaj czysto teoretycznie. Jeżeli liczba powstała w wyniku dodawania dwóch liczb: p-będącej liczba wymierną i liczby q, jest liczba wymierną to znaczy, ze q jest liczbą wymierną co jest sprzeczne z warunkami zadania - dlatego powstała liczba jest liczbą niewymierna.

c)

\(\displaystyle{ (\sqrt{p}+q)^2 = p+q+2q\sqrt{p}}\)

chyba zgubiłeś kwadrat przy q, ale to nie ma znaczenia w zadaniu.

Liczba q jest wymierna. Gdyby liczba \(\displaystyle{ x=2q\sqrt{p}}\) byłaby wymierna to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) też musiala by być wymierna, co jest sprzeczne z warunkami zadania, więc liczba x musi być niewymierna.
korzystając z a) "wymierna + wymierna = wymierna" i b) "wymierna + niewymierna = niewymierna" potwierdzamy tezę.

Jeszcze jedno pytanie:
czy jeśli pomnożymy liczbę wymierną, przez liczbę niewymierną to otrzymamy liczbę niewymierną, prawda? Czy można to bylo zastosować do zadania dla przykladu c)?

[max]

Dobrze myślisz, z tym, że przykład b) można rozpisać zupełnie analogicznie jak a) i tylko dlatego potraktowałem go pobieżnie.

Za zgubiony kwadrat przepraszam, już zresztą znalazł się on na swoim miejscu.

A co do pytania - zgoda, nietrudno coś takiego wykazać (proponuję spróbować), ale tylko jeśli dodamy założenie, że liczba wymierna jest różna od zera.

Pozdrawiam

[Kris-0]

Dziekuję za pomoc w temacie . Nigdy nie rozwiązywalem tego typu zadań, ale teraz okazuje się, że nie jest to takie trudne - trzeba dobrze znać definicje i pomysł jak coś wykazać.