Na płaszczyźnie C zaznaczyć zbiór
\(\displaystyle{ A=\{z C: im (\frac{1-z}{1+z})=1\}}\)
Błagam o pomoc i dokładny opis co po koleji nalezy zrobić. Dzięki!!!
Zaznaczyć Zbiór A
-
micholak
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Pomógł: 41 razy
Zaznaczyć Zbiór A
Ech zapomnialem o "i" i jest w trakcie poprawiania...
Wezmy jakis z nalezacy do A wowczas
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z}-\frac{1-\overline{z}}{1+\overline{z}}=2i}\)
mnozac obustronnie przez \(\displaystyle{ |1+z|^{2}}\)
\(\displaystyle{ (1-z)(1+\overline{z}) - (1-\overline{z})(1+z)=2i|z+1|^{2}}\)
co po wymnozeniu i skroceniu dalo mi
\(\displaystyle{ \overline{z}-z=2i|z+1|^{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ Im(z)=|z+1|^{2}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t = z+1-\frac{i}{2}}\)
Wowczas jest
\(\displaystyle{ Im(z)=Im(t)+\frac{1}{2}=(t+\frac{i}{2})(\overline{t}-\frac{i}{2})}\)
\(\displaystyle{ Im(t)+\frac{1}{2}=|t|^{2}+Im(t)+\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ |t|=\frac{1}{2}}\)
Zastosowane wzory
\(\displaystyle{ z+\overline{z}=2Rez}\)
\(\displaystyle{ z-\overline{z}=2iImz}\)
\(\displaystyle{ |z|^{2}=z\overline{z}}\)
Wezmy jakis z nalezacy do A wowczas
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z}-\frac{1-\overline{z}}{1+\overline{z}}=2i}\)
mnozac obustronnie przez \(\displaystyle{ |1+z|^{2}}\)
\(\displaystyle{ (1-z)(1+\overline{z}) - (1-\overline{z})(1+z)=2i|z+1|^{2}}\)
co po wymnozeniu i skroceniu dalo mi
\(\displaystyle{ \overline{z}-z=2i|z+1|^{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ Im(z)=|z+1|^{2}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t = z+1-\frac{i}{2}}\)
Wowczas jest
\(\displaystyle{ Im(z)=Im(t)+\frac{1}{2}=(t+\frac{i}{2})(\overline{t}-\frac{i}{2})}\)
\(\displaystyle{ Im(t)+\frac{1}{2}=|t|^{2}+Im(t)+\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ |t|=\frac{1}{2}}\)
Zastosowane wzory
\(\displaystyle{ z+\overline{z}=2Rez}\)
\(\displaystyle{ z-\overline{z}=2iImz}\)
\(\displaystyle{ |z|^{2}=z\overline{z}}\)
Zaznaczyć Zbiór A
powtarzam pytanie gdyż powyższe rozwiązanie jest błędne i zupełnie się nie zgadza z odpowiedziamimix2003 pisze:Na płaszczyźnie C zaznaczyć zbiór
\(\displaystyle{ A=\{z C: im (\frac{1-z}{1+z})=1\}}\)
Błagam o pomoc i dokładny opis co po koleji nalezy zrobić. Dzięki!!!
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 15:53 przez mix2003, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Kasiula@
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
Zaznaczyć Zbiór A
Niech \(\displaystyle{ z=a+ib (a,b R)}\),wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z}=\frac{1-a-ib}{1+a+ib}=\frac{1-a-ib}{1+a+ib} \frac{1+a-ib}{1+a-ib}=\frac{1-2ib-a^{2}-b^{2}}{1+2a+a^{2}+b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ Im(\frac{1-z}{1+z})=\frac{-2b}{1+2a+a^{2}+b^{2}}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2b}{1+2a+a^{2}+b^{2}}=1 ftrightarrow -2b=1+2a+a^{2}+b^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+2a+2b+1=0 ftrightarrow (a+1)^{2}+(b+1)^{2}=1}\)
Jest to równanie okregu o środku w punkcie (-1,-1) i promieniu r=1
Zatem:
\(\displaystyle{ A= \{ z C: Im(\frac{1-z}{1+z})=1\} = \{ z C: |z-(-1-i)|=1\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z}=\frac{1-a-ib}{1+a+ib}=\frac{1-a-ib}{1+a+ib} \frac{1+a-ib}{1+a-ib}=\frac{1-2ib-a^{2}-b^{2}}{1+2a+a^{2}+b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ Im(\frac{1-z}{1+z})=\frac{-2b}{1+2a+a^{2}+b^{2}}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2b}{1+2a+a^{2}+b^{2}}=1 ftrightarrow -2b=1+2a+a^{2}+b^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+2a+2b+1=0 ftrightarrow (a+1)^{2}+(b+1)^{2}=1}\)
Jest to równanie okregu o środku w punkcie (-1,-1) i promieniu r=1
Zatem:
\(\displaystyle{ A= \{ z C: Im(\frac{1-z}{1+z})=1\} = \{ z C: |z-(-1-i)|=1\}}\)