rozwiaz

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ 2sin(x)=\sqrt{4+cos(3x)}}\)

[Kasiula@]

Obustronnie podnoszą do kwadratu:
\(\displaystyle{ 4 \sin^{2} x=4+ \cos (3x)= 4+4 \cos^{3} x -3 \cos x}\)
\(\displaystyle{ 4-4 \cos^{2}=4+4 \cos^{3} x -3 \cos x}\)
\(\displaystyle{ 4 \cos^{3} x+4 \cos^{2} x-3 \cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x [4 \cos^{2} x+4 \cos x -3]=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 4 \cos^{2} x+4 \cos x -3=0}\)

1.
\(\displaystyle{ \cos x=0 x=\frac{\pi}{2}+ k\pi, k Z}\)

2.
\(\displaystyle{ 4 \cos^{2} x+4 \cos x -3=0}\)
Dokonuje podstawienia \(\displaystyle{ \cos x =t}\) (przy czym \(\displaystyle{ t [-1,1]}\)):
\(\displaystyle{ 4t^{2}+4t-3=0}\). Łatwo znaleźć pierwiastki tego równania kwadratowego,są nimi -6 i 2. Żaden z tych pierwiastków nie należy do przedziału [-1,1]

Z 1. i 2. otrzymaliśmy,że rozwiązaniem danej równości jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+ k\pi , k Z}\)

[luka52]

Z 1. i 2. otrzymaliśmy,że rozwiązaniem danej równości jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+ k\pi , k Z}\)

Czy aby na pewno? Podstawiając do równania \(\displaystyle{ x = \frac{3}{2}\pi}\) otrzymamy sprzeczność.

[mol_ksiazkowy]

sin(x)>0

[Sylwek]

Z 1. i 2. otrzymaliśmy,że rozwiązaniem danej równości jest x=frac{pi}{2}+ kpi , k Z

A dokładniej: przy podnoszeniu do kwadratu obie strony muszą być dodatnie. Jeszcze dokładniej: gdzie dziedzina?

Łatwo znaleźć pierwiastki tego równania kwadratowego,są nimi -6 i 2.

Na pewno ? Nie zapominaj o czwórce stojącej przy t^2.

[Kasiula@]

Jak podstawie \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}\pi}\) to lewej stronie otrzymuje -2, a po prawej stronie \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\).
\(\displaystyle{ -2=\sqrt{4}}\)

Może,źle to rozumię,ale wydaje mi się,że dla \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi}\) równość jest.

[ Dodano: 3 Września 2007, 15:31 ]
Dzięki Sylwek. Znalazłam bład (w swoich notatkach nie miałam 4). Przepraszam wszystkich

[luka52]

Kasiula@, to -2 = 2

[Kasiula@]

Nie.
Jak zaczęłam liczyć,to na końcu nie uwzględniłam wcześniejszych założeń i dlatego tak wyszło. Ale juz porządkuję wszystko. Sorrki.

[Emiel Regis]

Kasiula@, to -2 = 2

luka52, skąd tak wnioskujesz?
Zawsze pierwiastków algebraicznych n-tego stopnia jest n (które absolutnie nie są sobie równe). W szczególności jeden arytmetyczny.

[Kasiula@]

Jeżeli tym razem nieczego nie pogubiłam, to rozwiązaniem są:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi}\).

[luka52]

Drizzt, bo wydaje mi się, że w tym zadaniu mowa o pierwiastkach innych niż arytmetyczny nie ma sensu, a nawet jeśli to warto by o tym w treści wspomnieć.

[Emiel Regis]

Oczywiście że tak. Tylko mnie zdziwil pomysł porównywania ze sobą dwóch pierwiastków.
No ale kończe juz tego off-topa.