Dany jest pewien trójkat równo ramienny o kacie a przy podstawie i polu P, oraz wpisano weń okrąg o promieniu 1. oblicz P, jako funkcję zmiennej a. i wyznacz najmniejsza wartość jaka może ono przyjąc, tj. a nastepnie podaj wzór na obwód...
\(\displaystyle{ t=tg(\frac{a}{2})}\)
\(\displaystyle{ s(a)=\frac{2}{t-t^3}}\)
trojkat
-
Grzegorz t
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
-
DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
trojkat
Grzegorz t ==> Przecież stoi jak byk \(\displaystyle{ t=tg(\frac{a}{2})}\) (taki skrót - żeby nie przepisywać ciągle \(\displaystyle{ tg(\frac{a}{2})}\) ). Co prawda można to było zapisać może nieco czytelniej dla co poniektórych tzn. \(\displaystyle{ t:=tg(\frac{a}{2})}\), ale tak też jest OK
-
Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
trojkat
Troszkę nie rozumiem o co chodzi z tą funkcją s(a)... Mamy ją jako daną? To s to jest obwód? ??:
Pierwsza część zadania (wyznaczenie funkcji):
Oznaczmy:
a - podstawa trójkąta - kąt przy podstawie. Trochę konflikt oznaczeń z treścią, ale za późno zauważyłem
b - ramię
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt przy podstawie.
Teraz:
1) Obliczając pole z pomocą promienia okręgu wpisanego jako wysokości trzech trójkątów o podstawach będących bokami trójkąta, mamy:\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}(2b + a)}\)
2) Z twierdzenia sinusów mamy: \(\displaystyle{ \frac{b}{sin } = \frac{a}{sin(\pi - 2\alpha )}}\), stąd po krótkich przekształceniach: \(\displaystyle{ a = 2bcos\alpha}\)
3)Wstawiając za a ten wynik do wzoru z 1) mamy: \(\displaystyle{ P = b(1 + cos\alpha )}\)
4) Pole trójkąta możemy obliczyć też w ten sposob: \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}absin\alpha}\)
5) Porównując wzór na pole z 3) i z 4), otrzymujemy wzór na a: \(\displaystyle{ a = \frac{2(1+cos\alpha )}{sin }}\)
6) Wracając do wzoru z 2), możemy obliczyć b: \(\displaystyle{ b = \frac{1+ cos }{sin\alpha cos\alpha}}\)
7) Podstawiając za a i b otrzymane wyniki do wzoru z 4), otrzymujemy ządaną funkcję:
\(\displaystyle{ P = \frac{(1+cos )^2}{sin^2\alpha cos }}\)
Pierwsza część zadania (wyznaczenie funkcji):
Oznaczmy:
a - podstawa trójkąta - kąt przy podstawie. Trochę konflikt oznaczeń z treścią, ale za późno zauważyłem
b - ramię
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt przy podstawie.
Teraz:
1) Obliczając pole z pomocą promienia okręgu wpisanego jako wysokości trzech trójkątów o podstawach będących bokami trójkąta, mamy:\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}(2b + a)}\)
2) Z twierdzenia sinusów mamy: \(\displaystyle{ \frac{b}{sin } = \frac{a}{sin(\pi - 2\alpha )}}\), stąd po krótkich przekształceniach: \(\displaystyle{ a = 2bcos\alpha}\)
3)Wstawiając za a ten wynik do wzoru z 1) mamy: \(\displaystyle{ P = b(1 + cos\alpha )}\)
4) Pole trójkąta możemy obliczyć też w ten sposob: \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}absin\alpha}\)
5) Porównując wzór na pole z 3) i z 4), otrzymujemy wzór na a: \(\displaystyle{ a = \frac{2(1+cos\alpha )}{sin }}\)
6) Wracając do wzoru z 2), możemy obliczyć b: \(\displaystyle{ b = \frac{1+ cos }{sin\alpha cos\alpha}}\)
7) Podstawiając za a i b otrzymane wyniki do wzoru z 4), otrzymujemy ządaną funkcję:
\(\displaystyle{ P = \frac{(1+cos )^2}{sin^2\alpha cos }}\)