Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Witam!
Głowię się nad następującym zadaniem: Rozwinąć w szereg potęgowy w otoczeniu \(\displaystyle{ x_{0}=0}\) funkcję \(\displaystyle{ f(x)=xarctg2x}\).
Dla jakich x funkcja jest róna sumie tego rozwinięcia? Obliczyć \(\displaystyle{ \int\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}}\).
Po zróżniczkowaniu funkcji x2 otrzymuję: \(\displaystyle{ f''(x)=\left(\frac{2}{1+4x^{2}}\right)^2}\) i w tym momencie się zacinam. Funkcja w nawiasie jest równa \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}2(-4x^{2})^2}\). Podnosząc ją do kwadratu otrzymamy ciąg Cauchy'ego, a chyba nie o to chodziło.
Czy w ogóle zmierzam w dobrym kierunku? Pomóżcie rozwiązać to zadanie.
Bardzo proszę.
Z Regulaminu:
5. Temat:
(...)
5.6 Nie powinien zawierać wzorów, symboli i wyrażeń matematycznych.
max
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2007, o 13:52 przez Kaktusiewicz, łącznie zmieniany 2 razy.
Jak chcesz dalej iść tym tropem to wyznacz ten iloczyn i dwa razy scałkuj wyraz za wyrazem...
Ale szybciej chyba byłoby zacząć od rozwinięcia w szereg funkcji \(\displaystyle{ x \mapsto \arctan x}\)
Czyli rozpisuję funkcję: \(\displaystyle{ f(x)=xg(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=arctan2x}\).
Później obliczam pochodną funkcji g: \(\displaystyle{ g'(x)=\frac{2}{1+(2x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}2(-4x^2)^n}}\).
Całkuję tę sumę i otrzymuję: \(\displaystyle{ g(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}(-4)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ f(x)=2x\sum_{n=0}^{\infty}(-4)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}\). Dobrze? Czy mogę teraz wciągnąć x-a pod znak sumy?
Rachunki wyglądają na poprawne aczkolwiek ciągle uważam że robisz to na około.
Wg mnie łatwiej tak jak Ci pisalem, w takich przypadkach rozpisać samego arcusa z argumentem x. A potem mając już jego gotowy szereg jako argument za x można wstawiać co się podoba.
A co do Twojego wyniku to oczywiscie możesz x wciągnąć pod szereg. Dwójkę także.
