skracanie ulamka z niewiadoma

SK8 · Post autor: **SK8** » 1 wrz 2007, o 18:55

moge prosic o podpowiedz jak sie zabrac do tego zadania?
Dla pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)ułamek \(\displaystyle{ \frac{5n+6}{8n+7}}\) jest skracalny. Przez jaka liczbe?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 2 wrz 2007, o 09:21

Będziemy przekształcać największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ 5n+6, 8n+7}\) korzystając z własności \(\displaystyle{ NWD(a,b)=NWD(a, b-a)}\). Z treści zadania wiemy, że istnieje takie n, że \(\displaystyle{ NWD(5n+6,8n+7)>1}\). My mamy:
\(\displaystyle{ NWD(8n+7, 5n+6)=NWD(5n+6, 3n+1)=NWD(3n+1, 2n+5)=NWD(2n+5, n-4)=NWD(n-4, n+9)=NWD(n+9, 13)}\)
Wiemy więc, że dla pewnego n zachodzi \(\displaystyle{ NWD(n+9,13)>1}\) co implikuje, że \(\displaystyle{ n+9=13k, k \mathbb{N}}\). Odpowiedzią jest więc, że dla liczb naturalnych n postaci \(\displaystyle{ n=13k-9}\) ułamek \(\displaystyle{ \frac{5n+6}{8n+7}}\) jest skracalny przez liczbę 13.

SK8 · Post autor: **SK8** » 2 wrz 2007, o 18:33

hmm jest jakas nazwa tej wlasnosci albo strona gdzie mozna cos wiecej sie o niej dowiedziec? bo troche to skomplikowane. konkrentnie to nierozumiem skad wiemy ze \(\displaystyle{ ...NWD(5n+6,3n+1)=NWD(3n+1,2n+5)...}\).

A np to ze \(\displaystyle{ 5+8=13}\)i\(\displaystyle{ 6+7=13}\) to nic nie znaczy?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 3 wrz 2007, o 10:54

To jest jedna z podstawowych własności największego wspólnego dzielnika dwóch liczb. Zapoznaj się również z algorytmem Euklidesa. Wszystkie potrzebne informacje wyszukasz w internecie, a wtedy pewnie sam bez problemu udowodnić tę własność. Odpowiadając na drugie pytanie: \(\displaystyle{ NWD( 5n+6, 3n+1)=NWD( 3n+1, 5n+6 )=NWD(3n+1, 5n+6 -(3n+1) )=NWD( 3n+1, 2n+5)}\) . To, że 5+8=13 może i coś znaczy... ale co? I jak chciałbyś to pokazać?

SK8 · Post autor: **SK8** » 3 wrz 2007, o 14:01

nie wiem jak pokazac. zastanawialem sie po prostu czy nie ma jakies latwiejszego sposobu. jeszcze o tym poczytam to moze mi sie rozjasni. dzieki