całka przez podstawienie

[mostostalek]

hej.. mam za zadanie obliczyć całkę używając podstawienia trygonometrycznego

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx}\)

no to lecim

\(\displaystyle{ x=\sin{t}}\)
\(\displaystyle{ dx=\cos{t}dt}\)

podstawiając otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int\frac{\cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}dt}\)
moge zamienic \(\displaystyle{ \cos^{2}{t}=1-sin^{2}{t}}\)
ale i tak nie wiem co z tym dalej.. jakaś pomoc??
poza tym wydaje mi się że bym to szybciej przez zwykłe podstawienie policzył.. no może się mylę nie próbowałem

Temat nie powinien zawierać wzorów matematycznych. luka52

[bolo]

Dalej masz już tylko elementarne całki.

[luka52]

Można też podstawić: \(\displaystyle{ t = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
Wtedy całka sprowadza się do:
\(\displaystyle{ - t \frac{t^2 \, \mbox{d}t}{1+t^2} = -t + \arctan t + C = C - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} + \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
Taka ciekawostka

[mostostalek]

bolo jak napisze hudzikowi, że dalej są już tylko elementarne całki to mnie obleje

ja nie widze nic elementarnego w \(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin^{2}{x}}}\)

[bolo]

To ja wiem, chociaż z nim nie miałem zajęć

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sin^{2}x}=-\cot{x}+C}\) czyż nie?

Ściślej mówiąc:

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sin^{2}x}=\int\frac{1+\tan^{2}x}{\tan^{2}x}\mbox{d}x\stackrel{x=\arctan{t}}{=}\int\frac{\mbox{d}x}{t^{2}}=-\frac{1}{t}+C=-\cot{x}+C}\)