różniczkowalność

[magdamala20]

Uzasadnij że funkcja \(\displaystyle{ f:\RR^{2} \to\RR}\)

\(\displaystyle{ F(x,y)=\begin{cases} \frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}, (x,y)\neq(0,0)\\0, (x,y)=(0,0)\end{cases}}\)

nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0).}\)

[Kasiula@]

DEF.
funkcja f jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (x_{o},y_{o})}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \lim_{(\Delta x, \Delta y) (0,0)} \frac{f(x_{o}+ \Delta x, y_{o}+\Delta y)-f(x_{o},y_{o})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{o},y_{o})\Delta x -\frac{\partial f}{\partial y}(x_{o},y_{o})\Delta y }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0}\)

1. Konieczne jest wczesniej policzenie pochodnych cząstkowych \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}\). Pomieważ funkcja f jest zdefiniowana dwoma wzorami,więc te pochodne cząstkowe nalezy policzyc z definicji,czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{\Delta x 0} \frac{f(0+ \Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} =0}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0}\)

2.\(\displaystyle{ \lim_{(\Delta x, \Delta y) (0,0)} \frac{f(0+ \Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)-0\Delta x -0\Delta y }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\lim_{(\Delta x, \Delta y) (0,0)} \frac{\Delta x (\Delta y)^{2}}{[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}]^{\frac{3}{2}}}}\)
Pokażemy,że ostatnia granica nie jest równa 0. Niech \(\displaystyle{ (\Delta x_{n}, \Delta y_{n})=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\) dla \(\displaystyle{ n N}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n }(\Delta x_{n}, \Delta y_{n})=(0,0)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n } \frac{\Delta x_{n} (\Delta y_{n})^{2}}{[(\Delta x_{n})^{2}+(\Delta y_{n})^{2}]^{\frac{3}{2}}}=\lim_{n } \frac{\frac{1}{n^{3}}}{(\frac{2}{n^{2}})^{\frac{3}{2}}}=\lim_{n } \frac{1}{2\sqrt{2}} \not =0}\)

[magdamala20]

dziękuje ślicznie za pomoc:) pozdrawiam;)