granica z reguła de L'Hospitala

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ft( \frac{1}{x^2}-\cot ^2x \right)}\)

[mostostalek]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2}-\cot ^2x \right)=\lim_{x \to 0}\frac{1-x^{2}\cot^{2}{x}}{x^2}}\).. tutaj nie ma szpitalki bo licznik dąży do 1 przy x dążącym do 0 a mianownik do 0.. o ile dobrze pamiętam de l'Hospitala można stosować tylko w wyrażeniach typu "\(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\)" lub "\(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\)"

[bolo]

bo licznik dąży do 1 przy x dążącym do 0

Spróbuj to uzasadnić. Spójrz uważniej jeszcze raz na licznik.

[Emiel Regis]

Proponuję zamienić cotangens na iloraz cosinusa i sinusa i wtedy wszystko widać jak na dłoni.

[mostostalek]

ok.. podejście 2:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ft( \frac{1}{x^2}-\cot ^2x \right) = \lim_{x \to 0} ft(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\right)= \lim_{x \to 0} ft(\frac{\sin{x}-x^{2}\cos{x}}{x^{2}\sin{x}}\right)=\lim_{x \to 0} ft(\frac{\cos{x}-2x\cos{x}+x^2\sin{x}}{2x\sin{x}+x^2\cos{x}}\right)}\)

no dobra.. teraz już jest \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\) czy jeszcze nie ma??

[bolo]

Nie ma i nie będzie Z tym przyjrzeniem się licznikowi, miałem na myśli rozpisanie:

\(\displaystyle{ 1-x^{2}\cot^{2}{x}=1-\frac{x^{2}}{\sin^{2}{x}}\cdot\cos^{2}{x}.}\)

[Emiel Regis]

Ja myśle że kolega zrozumiał swój błąd i skorzystal jednak z delopitala po czym faktycznie [przypadkiem] mu wyszła taka granica jak pisał; )

[mostostalek]

lol faktycznie kwadrat zgubiłem no to liczymy jeszcze raz

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ft( \frac{1}{x^2}-\cot ^2x \right) = \lim_{x \to 0} ft(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}}\right)=\lim_{x \to 0} ft(\frac{\sin^{2}{x}-x^2\cos^{2}{x}}{x^{2} \sin^{2}{x}}\right)=\lim_{x \to 0} ft(\frac{2\sin{x}\cos{x}-2x\cos^{2}{x}+2x^{2}\sin{x}\cos{x}}{2x\sin^{2}{x}+2x^{2}\sin{x}\cos{x}}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin{x}\cos{x}-x\cos^{2}{x}+x^{2}\sin{x}\cos{x}}{x\sin^{2}{x}+x^{2}\sin{x}\cos{x}} \right)=\lim_{x \to 0} ft( \frac{\cos^{2}{x}-\sin^{2}{x}-\cos^{2}{x}+2x\sin{x}\cos{x}-x^{2}\sin^{2}{x}+2x\sin{x}\cos{x}-x^{2}\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}+2x\sin{x}\cos{x}-x^{2}\sin^{2}{x}+2x\sin{x}\cos{x}-x^{2}\cos^{2}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} ft( \frac{-\sin^{2}{x}+4x\sin{x}\cos{x}-x^{2}\sin^{2}{x}-x^{2}\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}+4x\sin{x}\cos{x}-x^{2}\sin^{2}{x}-x^{2}\cos^{2}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} ft( \frac{-2\sin{x}\cos{x}-4x\sin^{2}{x}+4x\sin{x}\cos{x}-4x\cos^{2}{x}-2x\sin^{2}{x}-2x^{2}\sin{x}\cos{x}-2x\cos^{2}{x}+2x^{2}\sin{x}\cos{x}}{2\sin{x}\cos{x}-4x\sin^{2}{x}+4x\sin{x}\cos{x}-4x\cos^{2}{x}-2x\sin^{2}{x}-2x^{2}\sin{x}\cos{x}-2x\cos^{2}{x}+2x^{2}\sin{x}\cos{x}} \right)=\lim_{x \to 0} ft( \frac{-\sin{x}\cos{x}-3x\sin^{2}{x}+2x\sin{x}\cos{x}-3x\cos^{2}{x}}{\sin{x}\cos{x}-3x\sin^{2}{x}+2x\sin{x}\cos{x}-3x\cos^{2}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} ft( \frac{-\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}-3\sin^{2}{x}-6x\sin{x}\cos{x}-2x\sin^{2}{x}+2\sin{x}\cos{x}-2x\cos^{2}{x}-3\cos^{2}{x}+6x\sin{x}\cos{x}}{\cos^{2}{x}-\sin^{2}{x}-3\sin^{2}{x}-6x\sin{x}\cos{x}-2x\sin^{2}{x}+2\sin{x}\cos{x}-2x\cos^{2}{x}-3\cos^{2}{x}+6x\sin{x}\cos{x}} \right)=\lim_{x \to 0} ft( \frac{-4\cos^{2}{x}-2\sin^{2}{x}-2x\sin^{2}{x}+2\sin{x}\cos{x}-2x\cos^{2}{x}}{-2\cos^{2}{x}-4\sin^{2}{x}-2x\sin^{2}{x}+2\sin{x}\cos{x}-2x\cos^{2}{x}} \right)=2}\)

trochę to trwało możecie sprawdzić??