zbadać łączność działania

[josef871]

jeżeli w złym miejscu wpisałem ten temat to proszę o przeniesienie.
Nie wiem wogóle jak rozwiązuje się takie zadania bardzo bym prosił o wytłumaczenie:

Zbadać łączność działania \(\displaystyle{ \circ}\) określonego w zbiorze S, jeśli:
\(\displaystyle{ S =\mathbb{N} \cup \{0\}, \ m \circ n = m + n + 4mn}\)

\(\displaystyle{ S = \mathbb{Z}, \ m \circ n = m^{2} + n^{2}}\)

\(\displaystyle{ S = \mathbb{R}, \ x \circ y = x - y}\)

[Emiel Regis]

Działanie jest łączne gdy zachodzi dla dowolnych x, y, z:
\(\displaystyle{ x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z}\)
Na trzecim przykładzie:
\(\displaystyle{ S = \mathbb{R}, \ x \circ y = x - y}\)
\(\displaystyle{ L=x \circ (y \circ z) = x \circ (y - z) =x -(y-z)=x-y+z}\)
\(\displaystyle{ P= (x \circ y) \circ z = (x-y) \circ z = x-y-z}\)
Czyli nie jest łączne bo lewa jest różna od prawej. Zresztą wynik był do przewidzenia ponieważ odejmowanie nie jest łączne. Reszta przykładów analogicznie. Jeśli coś jest dalej niejasne to pisz.

[josef871]

aha no rozumiem czyli z pierwszego przykładu będzie to wyglądać tak:

\(\displaystyle{ L = m \circ (n \circ 4mn \circ p) = m \circ(n+4mn+p) = m+n+4mn+p}\)
\(\displaystyle{ P = (m \circ n \circ 4mn) \circ p = m+n+4mn+p}\)

jeżeli błądze to proszę o poprawienie

[ Dodano: 2 Września 2007, 16:14 ]
także bym prosił o wytłumaczenie zadania:
Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) = \{a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}, \a, b, c \mathbb{Q})}\) wraz ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb jest ciałem.

[Emiel Regis]

oj znacznie błądzisz...
Po kolei:
Definicja działania: \(\displaystyle{ m \circ n = m + n + 4mn}\)
Czyli mówiąc normalnie znaczy to tyle że masz dodać składnik pierwszy i drugi, a następnie jeszcze dodać ich iloczyn pomnożony przez 4.
Czyli np:
\(\displaystyle{ m \circ (n \circ p)= m \circ (n+p+4np)=m+n+p+4np+4m(n+p+4np)}\)
Rozpisz z nawiasem w innym miejscu żebym wiedział że to już jest jasne.

[josef871]

a no widzisz teraz chyba zaczaiłem czyli:
\(\displaystyle{ (m \circ n) \circ p = (m + n + 4mn) \circ p = m + n + 4mn + p + 4(m + n + 4mn)p}\)

[Emiel Regis]

Zaczaiłeś. A to drugie to jest więcej pisania niż myślenia.
Tu masz warunki na ciało:
... ematyka%29
No i po kolei sobie je sprawdzaj... W razie kłopotów pisz. Powinieneś sobie już poradzić z większością.
Troche Ci odejdzie bo pamiętaj że standardowe dodawanie i mnożenie zawsze jest łączne i przemienne.

[josef871]

okej dzięki

[Emiel Regis]

A do moderatorów: ten temat to jednak znacznie bardziej pasuje do algebry abstrakcyjnej