parametr

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 2 wrz 2007, o 12:47

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rówanie
\(\displaystyle{ ( sin^2x - cos^2x ) ^2 + m^2 -5 = 0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) ma rozwiązanie
Proszę o szczegółowe rozwiązanie

setch · Post autor: **setch** » 2 wrz 2007, o 13:36

Skorzystmy ze wzoru \(\displaystyle{ \cos ^2x-\sin ^2x=\cos 2x}\)
\(\displaystyle{ (-(\cos^2x -\sin^2x))^2=5-m^2\\
(-\cos2x)^2=5-m^2\\
\cos^2 2x=5-m^2}\)
Jak oczywiście wiadomo \(\displaystyle{ \cos ^2 2x\in }\). Zatem aby istnieało rozwiązanie to prawo strona ostaniej równości musi zawierać się w tym przedziale. Ostatecznie zostaje do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ 0\leq5-m^2\leq1}\)

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 2 wrz 2007, o 15:26

\(\displaystyle{ 5 - m^2 qslant 1 5 - m^2 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ m\leqslant -2 m qslant 2 m qslant \sqrt{5} m qslant -\sqrt{5}}\)
czyli \(\displaystyle{ m < -\sqrt{5}, -2 > \cup < 2 , \sqrt{5} >}\)
Dobrze rozwiązałem ?

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40715 Mógłbyś zerknąć na to zadanie czy dobrze rozwiązałem ?

setch · Post autor: **setch** » 2 wrz 2007, o 15:33

Dobrze, tylko w środkowym zapisie zbiorów powinieneć użyć nawiasów, aby nie było nieporozumień.

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 2 wrz 2007, o 16:14

\(\displaystyle{ (-\cos2x)^2 =
\cos^2 2x}\) a tutaj w \(\displaystyle{ (-\cos2x)^2}\) 2x nie mnożymy do kwadratu, bo to już jest zawarte w wykresie tak ?
a gdyby było \(\displaystyle{ (-2\sin3x)^2 = 4sin^23x}\) Dobrze myślę ?
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40715 to też jest ok tak ?

setch · Post autor: **setch** » 2 wrz 2007, o 18:01

Dobrze rozumujesz, te przekształceia wynikają bezpośrednio z definicji potęgi o wykładniku naturalnym \(\displaystyle{ n \{2;4;6;8\ldots\} (-a)^n=a^n}\). Przegladaj pobierznie wydaje mi się, że jest dobrze.