zadanie z egzaminu

[sandarak19]

Znajdź promień zbieżności i podaj zbiór, w którym szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}\)

jest zbieżny. Policz sumę tego szeregu w każdym punkcie zbieżności.Korzystając z obliczonej sumy uzasadnij równość:

\(\displaystyle{ \pi=6\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)3^{n}\sqrt{3}}}\)

Przedział zbieżności: \(\displaystyle{ x\in[-1;1]}\)
Suma: \(\displaystyle{ S(x)=\arctan x}\)

Takie mi wyszły wyniki. Ale nie bardzo wiem jak uzasadnic tą równość. Ma ktoś jakiś pomysł?

[max]

Podstaw \(\displaystyle{ x = \frac{1}{\sqrt{3}}}\) i posłuż się otrzymanym wynikiem.

[sandarak19]

Gdzie mam wstawić ten ułamek i dlaczego akurat taką wartość, przybliż troche to prosze.

[max]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)3^{n}\sqrt{3}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n + 1} = \arctan ft(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ldots}\)

[sandarak19]

Kapuje:) Dzięki wielkie