Granica - mila i przyjemna

[5UCK]

Bardzo prosze o pomoc.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} =}\)

[scyth]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{n+3}{n+2}\right)^{5n+3} = \lim_{n\to } ft(\frac{n+2+1}{n+2}\right)^{5n+3} = \\
= \lim_{n\to } ft(\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5 ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-7}= \\
= ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5
ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)\right)^{-7}= \\
= e^5 1 = e^5}\)

[borus87]

lub prościej:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (\frac{n+2+1}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (1 + \frac{1}{n+2})^{(5n+3) \frac{1}{n+2} \frac{n+2}{1}} = e^{\lim_{n\to } \frac{5n+3}{n+2}} = e^5}\)

po prostu przekształcamy całość do postaci \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{x})^x=e}\) lub \(\displaystyle{ (1+x)^\frac{1}{x}=e}\) mnożąc potęgę przez drugi czynnik sumy (w razie różnicy minus wciągamy do mianownika) oraz jego odwrotność (co daje 1 i nie zmienia całego wyrażenia). Na koniec liczymy limka z potęgi e (w tym przypadku mamy prosto bo \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\))

[setch]

borus87, dokładniej do postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ft (1+\frac{1}{a_n} \right) ^{a_n}}\), której wartość granicy wynosi e.

[bolo]

borus87, dokładniej do postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ft (1+\frac{1}{a_n} \right) ^{a_n}}\), której wartość granicy wynosi e.

Przy założeniu, że \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciągiem rozbieżnym.

[scyth]

chyba załapał o co chodzi, może lepiej już zostawić...

[5UCK]

Dziękuje ślicznie, jutro egzamin, walne jeszcze 2 browary i będzie dobrze. Btw: zalapalem

[Amon-Ra]

jutro egzamin, walne jeszcze 2 browary

Uważasz, że to pomoże?

[5UCK]

Życie studenta jest pełne stresu, więc elementem który może pomóc - piwo, aa co lepiej pomaga niż piwo? 2 piwka i lulu. Dzięki jeszcze raz za pomoc, kolorowych wam życze