Granica - mila i przyjemna
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: jestes?
- Podziękował: 1 raz
Granica - mila i przyjemna
Bardzo prosze o pomoc.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} =}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} =}\)
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Granica - mila i przyjemna
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{n+3}{n+2}\right)^{5n+3} = \lim_{n\to } ft(\frac{n+2+1}{n+2}\right)^{5n+3} = \\
= \lim_{n\to } ft(\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5 ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-7}= \\
= ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5
ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)\right)^{-7}= \\
= e^5 1 = e^5}\)
= \lim_{n\to } ft(\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5 ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-7}= \\
= ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5
ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)\right)^{-7}= \\
= e^5 1 = e^5}\)
- borus87
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 6 sty 2007, o 16:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: UnderGround
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 2 razy
Granica - mila i przyjemna
lub prościej:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (\frac{n+2+1}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (1 + \frac{1}{n+2})^{(5n+3) \frac{1}{n+2} \frac{n+2}{1}} = e^{\lim_{n\to } \frac{5n+3}{n+2}} = e^5}\)
po prostu przekształcamy całość do postaci \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{x})^x=e}\) lub \(\displaystyle{ (1+x)^\frac{1}{x}=e}\) mnożąc potęgę przez drugi czynnik sumy (w razie różnicy minus wciągamy do mianownika) oraz jego odwrotność (co daje 1 i nie zmienia całego wyrażenia). Na koniec liczymy limka z potęgi e (w tym przypadku mamy prosto bo \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\))
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (\frac{n+2+1}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (1 + \frac{1}{n+2})^{(5n+3) \frac{1}{n+2} \frac{n+2}{1}} = e^{\lim_{n\to } \frac{5n+3}{n+2}} = e^5}\)
po prostu przekształcamy całość do postaci \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{x})^x=e}\) lub \(\displaystyle{ (1+x)^\frac{1}{x}=e}\) mnożąc potęgę przez drugi czynnik sumy (w razie różnicy minus wciągamy do mianownika) oraz jego odwrotność (co daje 1 i nie zmienia całego wyrażenia). Na koniec liczymy limka z potęgi e (w tym przypadku mamy prosto bo \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\))
- setch
- Użytkownik
- Posty: 1307
- Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 155 razy
- Pomógł: 208 razy
Granica - mila i przyjemna
borus87, dokładniej do postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ft (1+\frac{1}{a_n} \right) ^{a_n}}\), której wartość granicy wynosi e.
- bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Granica - mila i przyjemna
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciągiem rozbieżnym.setch pisze:borus87, dokładniej do postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ft (1+\frac{1}{a_n} \right) ^{a_n}}\), której wartość granicy wynosi e.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: jestes?
- Podziękował: 1 raz
Granica - mila i przyjemna
Dziękuje ślicznie, jutro egzamin, walne jeszcze 2 browary i będzie dobrze. Btw: zalapalem
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: jestes?
- Podziękował: 1 raz
Granica - mila i przyjemna
Życie studenta jest pełne stresu, więc elementem który może pomóc - piwo, aa co lepiej pomaga niż piwo? 2 piwka i lulu. Dzięki jeszcze raz za pomoc, kolorowych wam życze