kwadrat trojmianu

[mol_ksiazkowy]

Niech dany bedzie wielomian p wzorem jak nizej, przy czym a, b graja role parametrów.. wiemy tez, ze p posiada pewien pierwiastek niezalezny od ich doboru....Znajdz go i nastepnie wyznacz te stałe tak, by p był kwadratem pewnego trójmianu. podaj stosowne rachunki

\(\displaystyle{ p(x)=x^4+(b+2)x^3+(a+2b)x^2+(3a+b-4)x+2a-3}\)

[Tristan]

Wpierw wziąłem \(\displaystyle{ a=b}\) i otrzymałem \(\displaystyle{ x^4 +(a+2)x^3 +3ax^2 +(4a-4)x+2a-3}\). Z tej postaci zauważyłem, że nie skomplikuję sobie rachunków jeśli wezmę \(\displaystyle{ a=1}\), przez co dostałem wielomian \(\displaystyle{ x^4 +3x^3 +3x^2 -1=(x+1)(x^3 +2x^2 +x-1)}\). Rzeczywiście \(\displaystyle{ p(-1)=0}\) dla dowolnych a,b.
Wiem, że to nie jest rozwiązanie, tylko takie zauważanie sobie... Jednak podobno intuicja w rozwiązywaniu zadań też jest potrzebna
Co do drugiej części zadania, to istotne będzie zauważyć, że wielomian p będzie się musiał przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (x+1)^2 (x+c)^2}\), skąd łatwo wyznaczyć c.

[mol_ksiazkowy]

Tristan napisał:

Wiem, że to nie jest rozwiązanie, tylko takie zauważanie sobie... Jednak podobno intuicja w rozwiązywaniu zadań też jest potrzebna

Co do drugiej części zadania, to istotne będzie zauważyć, że wielomian p będzie się musiał przedstawić w postaci , skąd łatwo wyznaczyć c.

Tak czy siak, musze to uznać, intuicja sie przydaje , tazke wiedza i obycie wg mnie moznaby -tak a luzna propoz, ze moznaby w celu lepszego wykorzsytania załoz " niezalezny od a i b" utworzyc dwa takie i wziasc róznice , ta ma tez tenze pierwiastek....a jest to trojmian, to powinno nas juz naprowadzic..ps koncowka zadania wciaz czeka na chetnego...

\(\displaystyle{ p(x)=x^4+(b+2)x^3+(a+2b)x^2+(3a+b-4)x+2a-3}\)
\(\displaystyle{ p_2(x)=x^4+(b+2)x^3+(a^\prime+2b)x^2+(3a^\prime+b-4)x+2a^\prime-3}\)

[Sylwek]

Ogólnie to taki wielomian musiałby się przedstawiać w formie: \(\displaystyle{ [(x+c)(x+d)]^2}\), wystarczy wymnożyć, porównać i otrzymujemy układ czterech równań z czterema niewiadomymi. Jednak nie chciało mi się go robić i troszkę sobie pomogłem opierając się na zapiskach Tristana, że ten wielomian musi być w postaci \(\displaystyle{ [(x+1)(x+c)]^2}\). Nie chce mi się przepisywać, bo to zbędne, ale wyszły 2 rozwiązania:
\(\displaystyle{ (a=2 b=2 c=1) (a=2 b=-2 c=-1)}\)
I tutaj szalenie ważne jest zauważenie następującej rzeczy, a mianowicie w drugim przypadku wielomian nie będzie kwadratem pewnego trójmianu, ale pewnego dwumianu, bo po podstawieniu a=2 i b=-2 do wzoru na P(x) wyjdzie nam:
\(\displaystyle{ P(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2}\)

W pierwszym przypadku wychodzi nam:
\(\displaystyle{ P(x)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1=(x+1)^4=(x^2+2x+1)^2}\)

Co kończy zadanie, więc a=2, b=2.