kilka zbieżności szeregów

[wruz]

1.\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}ln\frac{n+1}{n-1}}\)

2.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arcsin\frac{n^{2}}{n^{3}+1}}{2^{n}}}\)

3.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\arccos\frac{n}{2n+1}-\frac{\pi}{4}}\)

4.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(2+(-1)^{n})^{n}}{4^{n}}}\)

5\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3n}+(n!)^{2}}{(3n)!+n!}}\)

będę bardzo wdzięczny za jakieś wskazówki

[micholak]

To ja mam takie wskazowki

!. porownawcze ( \(\displaystyle{ ln(1+x) \leq x}\) )
2.porownawcze (istnieje m takie ze dla n>m zachodzi \(\displaystyle{ arcsin\frac{n^{2}}{n^{3}+1}\leq 1}\) )
4. Kryterium Cauchyego (ma ta przewage ze liczysz tylko granice gorna)
5.Porownac z jakas odmaina \(\displaystyle{ \frac{cn^{3n}}{d(3n!)}}\) gdzie c i d odpowiednie stale zalezne od tego czy dany szereg bedzie zbiezny czy nie (odpowiednio dobierajac da sie porownac i w jedna i w druga strone) powinno byc prosciej. Badz jak znasz ilorazowe kryterium porownawcze z tym czyms

[wruz]

ze wszystkimi przykladami sobie poradzilem, tylko z 1 jest problem, kazde ograniczenie z gory konczy sie szeregiem rozbierznym a z dolu mi ograniczyc jakos nie wychodzi, po zastosowaniu wskazowki pozostaje mi tylko tyle ze \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) i jakos nie moge dojsc do szeregu zbierznego ograniczajacego z góry

[micholak]

\(\displaystyle{ ln (\frac{n+1}{n-1}) = ln(1+\frac{2}{n-1})\leq\frac{2}{n-1}}\)